Question

Найдите критические точки функции y=x^3-3x^2+12. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие-точками минимума

Answer 1

1)
f'(x)=2x+2f′(x)=2x+2 
2x+2=02x+2=0 
x=(-1)x=(−1) 

Интервал и их знаки:
(-\infty,-1)=-(−∞,−1)=− 
(-1,+\infty)=+(−1,+∞)=+ 

Точка -1, точка минимума.

2)
f'(x)=6x^2+2xf′(x)=6x2+2x 
6x^2+2x=06x2+2x=0 
x(6x+2)=0x(6x+2)=0 
x_{1,2}=0,(- \frac{1}{3})x1,2​=0,(−31​) 
Интервалы и знаки:
(-\infty,- \frac{1}{3})=+(−∞,−31​)=+ 
(- \frac{1}{3},0)=-(−31​,0)=− 
(0,+\infty)=+(0,+∞)=+ 

То есть:
- \frac{1}{3}−31​ - точка максимума.
0-точка минимума.

3)
f'(x)=12x^2+18x-12f′(x)=12x2+18x−12 
12x^2+18x-12=012x2+18x−12=0 
x_{1,2}= \frac{-18\pm30}{24}=(-2), 0.5x1,2​=24−18±30​=(−2),0.5 
(-\infty,-2)=+(−∞,−2)=+ 
(-2,0.5)=-(−2,0.5)=− 
(0.5,+\infty)=+(0.5,+∞)=+ 

-2=\max−2=max 
0,5=\min0,5=min 

4)

f'(x)=3x^2-2x-1f′(x)=3x2−2x−1 
3x^2-2x-1=03x2−2x−1=0 
x_{1,2}= \frac{2\pm 4}{6}=1,(- \frac{1}{3})x1,2​=62±4​=1,(−31​) 

(-\infty,- \frac{1}{3})=+(−∞,−31​)=+ 
(- \frac{1}{3},1)=-(−31​,1)=− 
(1,+\infty)=+(1,+∞)=+ 

- \frac{1}{3}=\max−31​=max 
1=\min1=min 

Answer 2

Для того чтобы найти критические точки функции, мы должны найти ее производную и приравнять ее к нулю:

y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0

Отсюда следует, что критические точки функции находятся в точках x = 0 и x = 2. Чтобы определить, являются ли эти точки точками максимума или минимума, мы должны проанализировать знаки вторых производных функции в этих точках.

Вычислим вторую производную функции:

y'' = 6x - 6

Затем найдем значение второй производной в каждой критической точке:

y''(0) = -6, y''(2) = 6

Таким образом, мы видим, что в точке x = 0 вторая производная отрицательна, а в точке x = 2 - положительна. Это означает, что x = 0 является точкой максимума функции, а x = 2 - точкой минимума функции.

Итак, критические точки функции y = x^3 - 3x^2 + 12 находятся в точках x = 0 и x = 2, а точка x = 0 является точкой максимума, а точка x = 2 - точкой минимума.