Question

Один из корней уравнения x^3-6x^2+ax-6=0 равен 3. Найдите сумму кубов двух других корней этого уравнения.

Answer 1

находим a:

x=3

3^3-6*3^2+a*3-6=0

27-54+3a-6=0

3a=33

a=33/3=11

исходное уравнение:

x^3-6x^2+11x-6=0

Так как известен один корень x=3, то данный многочлен можно представить как:

(x-3)(x^2+ax+b)=x^3+ax^2+bx-3x^2-3ax-3b=x^3+x^2(a-3)+x(b-3a)-3b

приравняем коэффициенты:

a-3=-6

b-3a=11

получим:

a=3-6=-3

b=11-9=2

(x-3)(x^2-3x+2)=0

x^2-3x+2=0

D=9-8=1

x2=(3+1)/2=2

x3=(3-1)/2=1

сумма кубов: 2^3+1^3=8+1=9

Ответ: 9

Answer 2

Если один из корней уравнения равен 3, то мы можем поделить уравнение на (x-3), чтобы получить квадратное уравнение. Деление дает нам:

(x^3-6x^2+ax-6)/(x-3) = x^2 - 3x + a

Два других корня могут быть найдены из решения квадратного уравнения. Сумма кубов двух других корней будет равна кубу разности между этими корнями и 3:

Пусть корни квадратного уравнения равны p и q. Тогда

p + q = 3, и pq = a.

(x-p)(x-q) = x^2 - (p+q)x + pq = x^2 - 3x + a

Таким образом, мы получаем:

(p-3)^3 + (q-3)^3 = (p^3+q^3-6p^2-6q^2+54p+54q-486)/27

Используя p + q = 3 и pq = a, мы можем переписать это выражение как:

(p-3)^3 + (q-3)^3 = (27-18a)/27

Заменяя a на pq, мы получаем:

(p-3)^3 + (q-3)^3 = (27-18pq)/27 = (27-18a)/27

Таким образом, сумма кубов двух других корней равна (27-18a)/27. Используя pq = a, мы можем переписать это как:

сумма кубов двух других корней = (27-18pq)/27 = (27-18a)/27 = 1 - 2pq/9 = 1 - 2a/9 = 1 - 2(3)(-6)/9 = 13

Итак, сумма кубов двух других корней равна 13.