Question

|x^2-9|+|x+3|=x^2+x-6   Решить уравнение с модулем

Answer 1

есть 2 способа:

1 длинный, 2 короткий

я объясню короткий способ...есть одно свойство когда двв модуля находятся в левой части, а справа какое-то уравнение.....

итак,, 1)нужно отбросить модули..,

2)дальше, нужно один раз прибавить, и один раз отнять модули, а уравнение в правой части оставить без изменения...

x^2-9+x+3=x^2+x-6. x^2-9-x-3=x^2+x-6

x^2+x-6= x^2+x-6. x^2-x-12= x^2+x-6

нам нужно, чтобы левая часть равнялась правой части....

а это можно увидеть в первой части....если части равны то решением уравнения будет система неравенств:

x^2-9>=0

x+3>=0

ответ будет их пересечение, то есть [3;+бесконеч.)

П.С: но а если при вычитавнии мы получили бы что обе части равны то решением уравнения будет система неравенств:

x^2-9>=0

x+3<=0

Answer 2

Для начала рассмотрим различные области определения для переменной x, в которых выражения внутри модулей будут иметь разные знаки.

1. Если x ≤ -3, то x+3 ≤ 0, а x^2-9 ≥ 0, поэтому |x^2-9| = x^2-9 и |x+3| = -(x+3), таким образом, уравнение примет вид:

   (x^2-9) - (x+3) = x^2+x-6

   x^2-9-x-3 = x^2+x-6

   x^2-x-12 = 0

   (x-4)(x+3) = 0

   Таким образом, корни в этой области определения: x = -3, x = 4.

2. Если -3 < x < 3, то x+3 > 0, но x^2-9 < 0, поэтому |x^2-9| = -(x^2-9) и |x+3| = (x+3), таким образом, уравнение примет вид:

   -(x^2-9) + (x+3) = x^2+x-6

   -x^2+9+x+3 = x^2+x-6

   2x^2-2x-12 = 0

   x^2-x-6 = 0

   (x-3)(x+2) = 0

   Таким образом, корни в этой области определения: x = -2, x = 3.

3. Если x ≥ 3, то x+3 ≥ 0, а x^2-9 ≥ 0, поэтому |x^2-9| = x^2-9 и |x+3| = (x+3), таким образом, уравнение примет вид:

   (x^2-9) + (x+3) = x^2+x-6

   x^2-9+x+3 = x^2+x-6

   x = 0

   Таким образом, корень в этой области определения: x = 0.

Таким образом, решением уравнения будет множество всех корней, найденных в каждой из областей определения:

x = -3, x = 4, x = -2, x = 3, x = 0.