Question

Диагональ параллерограмма образует с двумя его сторонами углы 23 градуса и 49 градусов. Найдите больший угол параллерограмма

Answer 1

Т.к. сумма двух углов пар равна 180, а один из углов равен 49+23= 72, то больший равен 180-72= 108

Answer 2

Наибольший угол 108.
23+49 = 72 градуса.
72*2 (т.к. противолежащие углы равны) = 144 градуса.
(находим сумму двух других углов) 360-144 =216 градусов.
(находим один угол) 216/2 =108 градусов.
72<108 следовательно больший угол - 108 градусов.

Answer 3

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому мы можем найти угол между диагоналями, зная два угла, которые они образуют с одной из сторон.

Пусть $ABCD$ - параллелограмм, $AC$ и $BD$ - диагонали, причем $\angle ACD = 23^\circ$ и $\angle BAD = 49^\circ$. Также пусть $\angle BDC = x^\circ$ - искомый угол.

Тогда $\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD = 131^\circ$ (так как $\angle BAD + \angle ABD = 180^\circ$). Заметим, что треугольник $ABD$ - равнобедренный, так как $AB=BD$ (это следует из того, что диагонали параллелограмма делятся пополам). Значит, $\angle ADB = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle ABD) = \frac{1}{2}(180^\circ - 131^\circ) = 24.5^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $BDC$. Он равнобедренный, так как $BD=CD$ (это также следует из свойств диагоналей параллелограмма). Значит, $\angle BDC = \frac{1}{2}(180^\circ - x^\circ)$. Также мы знаем, что $\angle BDA = \angle CDB = 180^\circ - \angle ADB = 155.5^\circ$ (это следует из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$). Значит, $\angle ADC = 360^\circ - \angle ABD - \angle BDA = 93.5^\circ$.

Теперь мы можем воспользоваться законом косинусов для треугольника $ADC$ и найти косинус угла $\frac{1}{2}(180^\circ - x^\circ)$:

$\cos\left(\frac{1}{2}(180^\circ - x^\circ)\right) = \frac{AD^2 + CD^2 - AC^2}{2 \cdot AD \cdot CD}$

Мы знаем, что $AD=BD$ (это следует из свойств диагоналей параллелограмма) и $CD=AD\cos\angle ACD$, так как $ADC$ - прямоугольный треугольник. Значит,

$\cos\left(\frac{1}{2}(180^\circ - x^\circ)\right) = \frac{AD^2 + AD^2\cos^2(23^\circ) - (2AD\cos(23^\circ))^2}{2 \cdot AD \cdot AD\cos(23^\circ)} = \frac{1 - 4\sin^2(23^\circ)}{2\cos(23^\circ)}$

Теперь мы можем найти значение $\frac{