Question

1+cos2x=cosx помогите с уравнением, пожалуйста)

Answer 1

1+cos2x=cosx
1+cos^2x+sin^2x=cosx
cos^2x+sin^2x+cos^2x-sin^2x-cosx=0
2cos^2x-cosx=0
cosx(2cosx-1)=0
cosx=0               2cosx-1=0
x=π/2+πn          cosx=1/2
                          x=+-π/3+2πn;n∈z
ответ: π/2+πn; +-π/3+2πn;n∈Z

Answer 2

Для решения уравнения 1 + cos(2x) = cos(x) используем тригонометрические тождества:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 (Формула двойного угла) cos(x) = 1 - 2sin^2(x/2) (Формула половинного угла)

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

1 + 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x/2)

Упрощаем:

2cos^2(x) = 2sin^2(x/2)

Переносим все члены в одну сторону:

cos^2(x) - sin^2(x/2) = 0

Применяем тригонометрическое тождество cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x):

cos(2x) - sin^2(x/2) = 0

Подставляем формулу для sin^2(x/2) = (1 - cos(x))/2:

cos(2x) - (1 - cos(x))/2 = 0

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

2cos(2x) - (1 - cos(x)) = 0

2cos(2x) + cos(x) - 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x), которое можно решить с помощью формулы:

cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 2, b = 1, c = -1.

cos(x) = (-1 ± √(1 + 8)) / 4

cos(x) = (-1 ± 3) / 4

cos(x) = -1/2 или cos(x) = 1

Проверяем полученные значения, подставляя их в исходное уравнение:

• Если cos(x) = -1/2, то 1 + cos(2x) = 1 + 2cos^2(x) - 1 = 2(1/4) - 1 = -1/2, что не равно cos(x) = -1/2. Значит, это решение отбрасываем.
• Если cos(x) = 1, то 1 + cos(2x) = 1 + 2cos^2(x) - 1 = 2 - 1 = 1, что равно cos(x) = 1. Значит, это решение верно.

Итак, решение уравнения 1 + cos(2x) = cos(x) равно x = 2πn, где n - любое целое число.