Question

До основи трикутника проведено бісектрису, яка ділить її на відрізки 15 і 24 см. Менша бічна сторона трикутника дорівнює 25 см. Обчисліть площу трикутника

Answer 1

Биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

$\displaystyle \tt \frac{BC}{CK}=\frac{AB}{AK}~~~\Rightarrow~~~\frac{BC}{24}=\frac{25}{15}~~~\Rightarrow~~~ BC=\frac{25\cdot24}{15}=40~_{CM}$

Имеем известные стороны: AB = 25 см, BC = 40 см и AC = AK+KC=15+24=39 см. Поскольку известны все стороны, то площадь треугольника будем искать по формуле Герона:

$\tt p=\dfrac{AB+BC+AC}{2}=\dfrac{25+40+39}{2}=52$ см - полупериметр.

$\tt S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{52\cdot(52-25)\cdot(52-40)\cdot(52-39)}=\\ \\ =\sqrt{52\cdot12\cdot13\cdot27}=\sqrt{13^2\cdot4^2\cdot 3^4}=13\cdot4\cdot3^2=468~_{CM^2}$

Ответ: 468 см².

Answer 2

За теоремою про бісектрису, ми можемо припустити, що бісектриса трикутника розділяє його бічну сторону на дві частини, пропорційні до інших двох сторін трикутника. З цього пропорції ми можемо знайти довжини двох інших сторін трикутника:

$\frac{24}{15} = \frac{c}{25}$

де $c$ - довжина більшої бічної сторони трикутника.

Розв'язуючи це рівняння, ми отримуємо:

$c = \frac{24}{15} \cdot 25 = 40$

Тепер, ми можемо використовувати формулу площі трикутника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

де $a$, $b$ і $c$ - довжини сторін трикутника, а $C$ - кут між $a$ і $b$, який ми можемо знайти за теоремою косинусів:

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

За даними умовами, ми вже знаємо довжини $a$ і $c$, і можемо знайти довжину $b$:

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{40^2 - 25^2} \approx 30$

Тепер, ми можемо знайти кут $C$:

$\cos C = \frac{25^2 + 30^2 - 40^2}{2 \cdot 25 \cdot 30} \approx 0.6$

$C \approx 53.13^{\circ}$

Застосовуючи ці значення до формули площі трикутника, ми отримуємо:

$S = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 30 \cdot \sin 53.13^{\circ} \approx 337.5 \text{ см}^2$

Отже, площа трикутника дорівнює близько 337.5 квадратних сантиметрів.