Question

Делится ли 1 в третьей степени+2 в третьей степени+3 в третьей степени.........+82 в третьей степени на 83??

Answer 1

Делится но с дробной частью получится 6643.42

Answer 2

Мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая утверждает, что если p - простое число, а a не делится на p, то a^(p-1) - 1 делится на p.

Здесь p=83 - простое число, поэтому, если мы докажем, что сумма 1^3 + 2^3 + ... + 82^3 (т.е. сумма кубов чисел от 1 до 82) равна нулю по модулю 83, то мы сможем заключить, что данная сумма делится на 83.

Чтобы это доказать, мы можем воспользоваться следующими свойствами:

1. a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
2. a^2 - ab + b^2 делится на 3 для любых целых a и b.

Применяя первое свойство для каждой пары чисел (1,82), (2,81), (3,80) и т.д. до (41,42), мы получаем:

1^3 + 82^3 = (1+82)(1^2 - 182 + 82^2) = 83k_1 2^3 + 81^3 = (2+81)(2^2 - 281 + 81^2) = 83k_2 ... 41^3 + 42^3 = (41+42)(41^2 - 41*42 + 42^2) = 83k_41

где k_1, k_2, ..., k_41 - некоторые целые числа.

Таким образом, сумма всех кубов разбивается на 41 слагаемых, каждое из которых делится на 83. Следовательно, сумма 1^3 + 2^3 + ... + 82^3 также делится на 83, и ответ на вопрос - да, данная сумма делится на 83.