Question

Помогите найти интеграл. S(x^2-8x+12)dx

Answer 1

= х³/3-8х²/2 +12х +С = х³/3 -4х² +12х +С

Answer 2

Для интегрирования данного выражения необходимо применить формулу интегрирования функции суммы, а затем произвести замену переменной.

S(x^2-8x+12)dx = S(x^2-8x+16-4)dx = S((x-4)^2-4)dx

Теперь проведем замену переменной u = x - 4. Тогда dx = du.

S((x-4)^2-4)dx = S(u^2-4)du

Для интегрирования данного выражения можно воспользоваться формулой интегрирования разности квадратов:

S(u^2-4)du = S(u+2)(u-2)du

Далее можно разложить данное выражение на простейшие дроби:

S(u+2)(u-2)du = S(A/(u+2) + B/(u-2))du

A и B - константы, которые необходимо найти.

(u+2)(u-2) = A(u-2) + B(u+2)

Подставляем u = 2 и находим A:

(2+2)(2-2) = A(2-2) + B(2+2)

A = 1

Подставляем u = -2 и находим B:

(-2+2)(-2-2) = A(-2-2) + B(-2+2)

B = -1

Теперь мы можем вычислить исходный интеграл:

S(x^2-8x+12)dx = S((x-4)^2-4)dx = S(u^2-4)du = S(A/(u+2) + B/(u-2))du = S(1/(u+2) - 1/(u-2))du

= ln|u+2| - ln|u-2| + C = ln|x-2| - ln|x-6| + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ:

S(x^2-8x+12)dx = ln|x-2| - ln|x-6| + C.