Question

HELP сумма 3 чисел представляющих возрастающую арифметическую прогрессию равна 21. Если к ним, соответственно, добавить 2,3 и 9 то образованные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите наибольшее из исходных членов прогрессии​

Answer 1

Ответ:

11

Объяснение:

Пусть {aₙ} - возрастающая арифметическая прогрессия, поэтому искать будем a₃, так как он будет наибольшим.

a₁ + a₂ + a₃ = 21 (по условию)

a₃ - 2d + a₃ - d + a₃ = 21

3a₃ - 3d = 21 | ÷ 3

a₃ = d + 7

(a₁ + 2); (a₂ + 3); (a₃ + 9) - геометрическая прогрессия (по условию)

(a₁ + 2)·(a₃ + 9) = (a₂ + 3)² - основное свойство геометрической прогрессии.

(a₃ - 2d + 2)·(a₃ + 9) = (a₃ - d + 3)²

(d + 7- 2d + 2)·(d + 7 + 9) = (d + 7 - d + 3)²

(-d + 9)(d + 16) = 100

-d² - 7d + 144 = 100

d² + 7d - 44 = 0

D = 49 + 4·44 = 49 + 176 = 225 = 15²

d = (-7 ± 15) ÷ 2

d = -11 - не подходит, так как по условию арифметическая прогрессия возрастающая

d = 4 - подходит!

a₃ = 4 + 7 = 11

Answer 2

Пусть исходные числа в возрастающей арифметической прогрессии равны a, a+d и a+2d, где d - шаг прогрессии. Тогда из условия задачи:

a + (a+d) + (a+2d) = 21

Решая это уравнение, получаем:

a = 7 - d

Теперь нам нужно найти такое значение d, при котором образованные числа составят геометрическую прогрессию. Это означает, что:

(a+2) / (a+1) = (a+3) / (a+2) = (a+9) / (a+3)

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

(a^2 + 11a + 18) / (a^2 + 3a + 2) = (a^2 + 12a + 27) / (a^2 + 5a + 6)

Выражая одно из отношений через другое и решая получившееся уравнение, получаем:

a = 3 или a = -4

Так как числа должны быть в возрастающей прогрессии, мы выбираем a = 3. Тогда исходные числа равны 3, 4 и 5. Наибольшее из них - это 5. Таким образом, ответ на задачу: 5.