Question

Докажите тождество m(m+n)(m-n)-(n+m)(m-mn+n²)=-n²(m+n)

Answer 1

(m+n)(m²-mn)-(m+n)(m²-mn+n²)=(m+n)(m²-mn-m²+mn-n²)=-n²(m+n)
что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства данного тождества раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:

Левая часть:

m(m+n)(m-n)-(n+m)(m-mn+n²) = m(m^2 - n^2 + mn + mn - m^2 - mn + n^2) - (nm - n^2 + nm^2 - n^3 + m^2 - mn^2 + mn + m^3 - m^2n) = m(2mn) - (n^2m - n^3 + nm^2 - mn^2 + mn + m^3 - m^2n) = 2m^2n - n^2m - n^3 + nm^2 - mn^2 + mn + m^3 - m^2n

Правая часть:

-n²(m+n) = -n²m - n³

Теперь сравним правую и левую части:

2m^2n - n^2m - n^3 + nm^2 - mn^2 + mn + m^3 - m^2n = -n²m - n³

Перенесём все слагаемые в левую часть:

2m^2n - n^2m - n^3 + nm^2 - mn^2 + mn + m^3 - m^2n + n²m + n³ = 0

Сократим с обеих сторон на n:

2m^2 - nm - n^2 + m^2 - mn + m + n^2 + n = 0

3m^2 - mn + m + n = 0

Вынесем общий множитель m:

m(3m - n) + (m + n) = 0

Раскроем скобки:

3m^2 - mn + m + n = -m - n

Добавим (m+n) к обеим сторонам:

3m^2 - mn + 2m = 0

Вынесем общий множитель m:

m(3m - n + 2) = 0

Таким образом, получаем два решения: m = 0 или 3m - n + 2 = 0, то есть n = 3m + 2. Однако эти решения не обязательно должны быть выполнены при любых значениях m и n. Поэтому мы не можем утверждать, что исходное уравнение верно для всех m и n.