Question

Упростите выражение! cos2\alpha +sin2\alpha +1/cos\alpha

Answer 1

$\frac{cos2a+sin2a+1}{cosa}=\frac{(cos^2a-sin^2a)+2\, sina\cdot cosa+(sin^2a+cos^2a)}{cosa}=\\\\=\frac{2cos^2a+2\, sina\cdot cosa}{cosa}=\frac{2cosa\cdot (cosa+sina)}{cosa}=2\cdot (cosa+sina)=\\\\=2\cdot (cosa+cos(\frac{\pi}{2}-a))=2\cdot 2\cdot cos\frac{\pi }{4}\cdot cos\frac{a-\frac{\pi}{2}+a}{2}=\\\\=4\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cdot cos(a-\frac{\pi}{4}) =2\sqrt2\cdot cos(a-\frac{\pi}{4})$

Answer 2

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить выражение:

cos²α + sin²α = 1 (тождество Пифагора для синуса и косинуса) 1/cosα = secα (реципрокное соотношение)

Теперь мы можем заменить в исходном выражении и упростить:

cos²α + sin²α + 1/cosα = 1 + 1/cosα = cosα/cosα + 1/cosα = (cosα + 1)/cosα

Таким образом, упрощенное выражение равно (cosα + 1)/cosα.