Question

Найти все пары натуральных чисел p и q , для которых   4p^2 = q^2 - 9

Answer 1

запишем так 3^2+(2p)^2=q^2 решением данного диофантова уравнения является Пифагорова

тройка 3; 4; 5

q=5 p=2

Answer 2

4p^2 = q^2 - 9

9= q^2 - 4p^2

9= (q-2p)(q+2p)

1случай:

q-2p=1

q+2p=9

2случай:

q-2p=9

q+2p=1

3случай

q-2p=3

q+2p=3

4cлучай:

q-2p=-1

q+2p=-9

5cлучай:

q-2p=-9

q+2p=-1

6cлучай:

q-2p=-3

q+2p=-3

 

Решение:

1)

q-2p=1

q+2p=9

 

q=1+2p

q=9-2p

 

1+2p=9-2p

4p=8

p=2

q-2*2=1

q=5

 

2)

q-2p=9

q+2p=1

 

q=9+2p

q=1-2p

 

9+2p=1-2p

4p=-8

p=-2 - не подходит

 

3)

q-2p=3

q+2p=3

 

q=3+2p

q=3-2p

 

3+2p=3-2p

4p=0

p=0-не подходит

 

4)

q-2p=-1

q+2p=-9

 

2q=-10

q=-5 - не подходит

 

5)

q-2p=-9

q+2p=-1

 

2q=-10

q=-5 -не подходит

 

6)

q-2p=-3

q+2p=-3

 

2q=-6

q=-3 -не подходит

 

Ответ:p=2 ;q=5

Ответ правильный!Проверил по графику.

Answer 3

Начнем с преобразования данного уравнения:

4p^2 + 9 = q^2

Мы можем заметить, что левая часть этого уравнения является квадратом целого числа, а именно 2p. А правая часть является суммой квадрата целого числа и числа 9. Это напоминает теорему Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, мы можем рассматривать данное уравнение как уравнение Пифагора с гипотенузой q и катетами 2p и 3. Известно, что в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c выполняется соотношение a^2 + b^2 = c^2.

Применяя это соотношение к нашему уравнению, мы получаем:

(2p)^2 + 3^2 = q^2

4p^2 + 9 = q^2

Мы можем заметить, что правая часть этого уравнения является квадратом целого числа, поэтому 4p^2 + 9 должно быть квадратом некоторого целого числа. Это означает, что q^2 должно быть на 9 больше кратного 4.

Мы можем представить q^2 в виде (4k + 3)^2 или (4k + 1)^2 для некоторого целого k. Если мы подставим это обратно в уравнение 4p^2 + 9 = q^2, то получим:

4p^2 + 9 = (4k + 3)^2 или 4p^2 + 9 = (4k + 1)^2

Первое уравнение приводит к:

4p^2 = 16k^2 + 24k

p^2 = 4k^2 + 6k

p^2 = 2k(2k + 3)

Это означает, что p^2 должно быть кратным 2, а 2k(2k + 3) должно быть квадратом целого числа. Это возможно только тогда, когда 2k и 2k + 3 являются квадратами целых чисел. Это возможно только тогда, когда k = 0, но в этом случае p = 0, что не является натуральным числом.

Второе уравнение приводит к:

4p^2 = 16k^2 + 8k

p^2 = 4k^2 + 2k

p^