Question

Решите в целых числах уравнение: y⋅y+2y+13=x⋅x. Сколько решений в целых числах имеет уравнение?

Answer 1

X^2=y^2+2y+13
x^2=y^2+2y+1-1+13
x^2=(y+1)^2+12
x^2-(y+1)^2=12
(x-y-1)(x+y+1)=12
12=1*12=12*1=2*6=6*2=3*4=4*3
т.е. нам надо решить 6 систем уравнений (например, система x-y-1=2; x+y+1=6) и объединить их решения (совокупность)
не буду здесь каждую решать, сам справишься
различных решений, если не ошибаюсь, будет 4

Answer 2

Перепишем уравнение в виде: $y^2 + 2y + 1 + 12 = x^2 + 1$, или $(y+1)^2 + 12 = x^2 + 1$.

Таким образом, $x^2 - (y+1)^2 = 11$.

Разность квадратов слева означает, что $(x-y-1)(x+y+1) = 11$.

Таким образом, возможны следующие варианты:

1. $x-y-1=1$ и $x+y+1=11$, что дает $x=6$ и $y=4$.
2. $x-y-1=11$ и $x+y+1=1$, что не имеет решений.
3. $x-y-1=-1$ и $x+y+1=-11$, что не имеет решений.
4. $x-y-1=-11$ и $x+y+1=-1$, что не имеет решений.

Таким образом, уравнение имеет только одно решение в целых числах: $(x,y) = (6,4)$.