Question

Помогите пожалуйста решить, простейшие тригонометрические уравнения: √3tg(pi*x+pi/5)=3

Answer 1

Т текст текст текст текст

Answer 2

Дано: $\sqrt{3}\tan(\pi x+\frac{\pi}{5})=3$

Первым шагом мы можем избавиться от корня, возведя обе части уравнения в квадрат:

$3\tan^2(\pi x+\frac{\pi}{5})=9$

$\tan^2(\pi x+\frac{\pi}{5})=3$

Затем мы можем применить тригонометрическую формулу $\tan^2\theta +1=\sec^2\theta$:

$\sec^2(\pi x+\frac{\pi}{5})=4$

Теперь возведем обе части уравнения в -1 степень:

$\cos^2(\pi x+\frac{\pi}{5})=\frac{1}{4}$

$\cos(\pi x+\frac{\pi}{5})=\pm\frac{1}{2}$

Теперь мы можем решить два уравнения, одно с знаком «+», другое с знаком «-»:

$\cos(\pi x+\frac{\pi}{5})=\frac{1}{2}$

$\pi x+\frac{\pi}{5}=\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}$

$\pi x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{5}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}$

$x=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{5}+2\pi n\right), n\in\mathbb{Z}$

$x=\frac{1}{15}+\frac{2n}{3}, n\in\mathbb{Z}$

и

$\cos(\pi x+\frac{\pi}{5})=-\frac{1}{2}$

$\pi x+\frac{\pi}{5}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}$

$\pi x=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{5}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}$

$x=\frac{1}{\pi}\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{5}+2\pi n\right), n\in\mathbb{Z}$

$x=\frac{5}{9}+\frac{2n}{3}, n\in\mathbb{Z}$

Таким образом, решения уравнения $\sqrt{3}\tan(\pi x+\frac{\pi}{5})=3$ равны:

$x=\frac{1}{15}+\frac{2n}{3}$ или $x=\frac{5}{9}+\frac{2n}{3}$, где $n\in\mathbb{Z}$.