Question

Шестой и девятый члены арифметической прогрессии равны 6 и 15 соответственно. Найдите её первый член и сумму первых четырнадцати челнов

Answer 1

Решение задания на фото

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен $a$, а разность прогрессии равна $d$. Тогда шестой член равен $a+5d=6$, а девятый член равен $a+8d=15$.

Из первого уравнения найдём $d$:

$d = \frac{6-a}{5}$

Подставляем это выражение для $d$ во второе уравнение:

$a + 8 \cdot \frac{6-a}{5} = 15$

Раскрываем скобки:

$a + \frac{48-8a}{5} = 15$

Умножаем обе части на 5:

$5a + 48 - 8a = 75$

Сокращаем:

$-3a + 48 = 75$

Вычитаем 48:

$-3a = 27$

Делим на $-3$:

$a = -9$

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен $-9$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна:

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

Для $n=14$ получаем:

$S_{14} = \frac{14}{2} (2 \cdot (-9) + (14-1)d)$

$S_{14} = 7 (-18 + 13d)$

Значение $d$ мы уже нашли ранее:

$d = \frac{6-a}{5} = \frac{6+9}{5} = 3$

Подставляем это значение и находим сумму:

$S_{14} = 7 (-18 + 13 \cdot 3) = 7 \cdot 9 = 63$

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен $-9$, а сумма первых четырнадцати членов равна $63$.