Question

Помогите пожалуйста Найдите критические точки функции: F(x)= x^4-2x^2-3

Answer 1

Критические точки функции - это такие точки из области определения этой функции, в которых производная этой функции обращается в нуль или не существует.
F(x) = x^4 - 2*x^2 - 3.
Область определения = (-∞;+∞).
F'(x) = 4*(x^3) - 2*2*x,
Производная существует во всех точках области определения.
Найдем точки, в которых производная обращается в нуль.
4*(x^3) - 4*x = 0,
x^3 - x = 0,
x*(x^2 -1) = 0,
x*(x-1)*(x+1) = 0.
x = 0 или x=-1 или x=1.
Ответ. { -1; 0; 1}.

Answer 2

Чтобы найти критические точки функции F(x), нужно найти её производную F'(x) и решить уравнение F'(x) = 0.

Для функции F(x) = x^4 - 2x^2 - 3, её производная F'(x) будет:

F'(x) = 4x^3 - 4x

Чтобы найти критические точки, нужно решить уравнение F'(x) = 0:

4x^3 - 4x = 0

4x(x^2 - 1) = 0

Отсюда получаем три корня: x = 0, x = -1, x = 1.

Теперь нужно проверить знак производной на каждом из интервалов между корнями:

1. (-бесконечность, -1): F'(x) < 0, значит функция убывает на этом интервале.
2. (-1, 0): F'(x) > 0, значит функция возрастает на этом интервале.
3. (0, 1): F'(x) > 0, значит функция возрастает на этом интервале.
4. (1, +бесконечность): F'(x) < 0, значит функция убывает на этом интервале.

Таким образом, критические точки функции F(x) равны x = -1, x = 0 и x = 1.

Чтобы определить, является ли каждая из них точкой минимума, максимума или точкой перегиба, нужно проанализировать знаки второй производной F''(x) на соответствующих интервалах:

F''(x) = 12x^2 - 4

1. (-бесконечность, -1): F''(x) > 0, значит функция выпукла вверх на этом интервале.
2. (-1, 0): F''(x) < 0, значит функция выпукла вниз на этом интервале.
3. (0, 1): F''(x) < 0, значит функция выпукла вниз на этом интервале.
4. (1, +бесконечность): F''(x) > 0, значит функция выпукла вверх на этом интервале.

Таким образом, x = -1 и x = 1 являются точками локального экстремума функции F(x), причем x = -1 является точкой максимума, а x = 1 - точкой минимума. Точка x = 0 является точкой перегиба функции.