Question

Решите неравенство x^2-2x-8<7|x-4|

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для решения этого неравенства, нужно рассмотреть два случая: когда выражение $|x-4|$ положительно и когда оно отрицательно.

Когда $x-4\geq0$, то $|x-4|=x-4$, и неравенство можно записать следующим образом:

$x^2-2x-8<7(x-4)$

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем:

$x^2-2x-8<7x-28$

$x^2-9x+20<0$

Это квадратное неравенство имеет корни $x=4$ и $x=5$, а значит, его решением является любое число $x$, удовлетворяющее неравенству $4<x<5$.

Когда $x-4<0$, то $|x-4|=-(x-4)$, и неравенство можно записать следующим образом:

$x^2-2x-8<-7(x-4)$

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем:

$x^2+5x-20<0$

Это квадратное неравенство имеет корни $x=-5$ и $x=4$, а значит, его решением является любое число $x$, удовлетворяющее неравенству $-5<x<4$.

Таким образом, решением исходного неравенства является объединение этих двух интервалов:

$-5<x<4 \text{ или } 4<x<5.$