Question

Завод выпускает изделия определенного вида. Каждое изделие может иметь дефект с вероятностью p. После изготовления изделие осматривают К контроллеров; і-й контроллер обнаруживает дефект с вероятностью Рі (i = 1,2, ..к). Изделие с выявленным дефектом бракуется. Найти вероятность события А - изделие забраковано.

Answer 1

$p(1 -(1- P_{1}})(1- P_{2}})(1- P_{i}} ))$

$(1- P_{1}})(1- P_{2}})(1- P_{i}} )$ - вероятность того, что ни один контролер брак не обнаружил
$1 -(1- P_{1}})(1- P_{2}})(1- P_{i}} )$ - обратное событие - обнаружение брака любым из контролеров
То же, умноженное на вероятность появления брака p есть вероятность события "обнаружение брака" в произвольной детали (бракованной или нет)

Answer 2

Для нахождения вероятности события А - изделие забраковано, мы можем воспользоваться формулой полной вероятности. Для этого нужно рассмотреть все возможные случаи: когда изделие не имеет дефекта, когда оно имеет дефект и не был замечен ни одним из контроллеров, когда оно имеет дефект и был замечен хотя бы одним контроллером.

Для удобства, обозначим событие B - изделие имеет дефект, и событие C_i - i-й контроллер заметил дефект на изделии.

Тогда полная вероятность события А будет выглядеть следующим образом:

P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|B^c) * P(B^c)

где A|B - событие "изделие забраковано при условии, что оно имеет дефект", A|B^c - событие "изделие забраковано при условии, что оно не имеет дефекта", B^c - событие "изделие не имеет дефекта".

Вероятность P(B) - вероятность того, что изделие имеет дефект - задана в условии и равна p.

Вероятность P(A|B) - вероятность того, что изделие будет забраковано, при условии, что оно имеет дефект - равна единице, т.к. изделие с дефектом всегда забраковывается.

Вероятность P(B^c) - вероятность того, что изделие не имеет дефекта - равна единице минус вероятность того, что изделие имеет дефект, т.е. P(B^c) = 1 - p.

Вероятность P(A|B^c) - вероятность того, что изделие будет забраковано, при условии, что оно не имеет дефекта, можно выразить через вероятность P(C_i|B^c) - вероятность того, что i-й контроллер заметит дефект на изделии, при условии, что изделие не имеет дефекта. Эта вероятность равна нулю, т.к. если изделие не имеет дефекта, то ни один контроллер не может заметить на нем дефект.

Таким образом, мы получаем:

P(A) = 1 * p + 0 * (1 - p) = p