Question

Решите уравнение sin^x+sin^2x=sin^3x+sin^4x 

Answer 1

sinx-sin4x+sin2x-sin3x=0,

-2sin(3x/2)*cos(5x/2)-2sin(x/2)*cos(5x/2)=0,

-2cos(5x/2)(sin(3x/2)+sin(x/2))=0,

cos(5x/2)(2sin2x*cosx)=0,

cos(5x/2)*sin2x*cosx=0,

cos(5x/2)=0, 5x/2=пи/2+пи*n, n принад. Z; х=пи/5+2пи*n/5,n принад. Z.

sin2x=0, ; 2х=пи*к, к принад. Z, х=пи*к/2, к принад. Z.

cosx=0,х=пи/2+пи*m, m принад. Z

Answer 2

Для начала перепишем уравнение в виде одной степени синуса:

$$\sin^x + \sin^2x = \sin^3x + \sin^4x$$

Заметим, что уравнение имеет два тривиальных решения: $x=0$ и $x=2$. Попробуем найти другие решения.

Приведём уравнение к виду $\sin^2x(\sin^2x + \sin x - 1) = 0$. Это уравнение имеет два корня: $\sin^2x = 0$ и $\sin^2x + \sin x - 1 = 0$.

Если $\sin^2x = 0$, то $x = k\pi$, где $k$ - целое число.

Если $\sin^2x + \sin x - 1 = 0$, то можно решить это уравнение с помощью общей формулы для квадратных уравнений:

$$\sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$$

Однако вторый корень отрицательный, а синус угла не может быть отрицательным, поэтому второй корень нам не подходит. Остаётся только первый корень.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=k\pi$, $x=0$ и $x=2$.