Question

Доказать , что значение выражения 111 в n-ой степени минус 6 делится нацело на 5 при любом натуральном значении n СРОЧНО!!!!!!!!!!

Answer 1

Число 111 заканчивается цифрой 1, значит, в кукую бы степень мы это число не возвели, на конце всегда будет 1, т.к. 1*1=1. Раз  $111^n$ заканчивается на 1, то число  $111^n-6$ заканчивается на 11-6=5 и делится нацело на 5.

Доказано.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг базы: Для n=1 мы имеем 111^1 - 6 = 105, что делится нацело на 5.

Шаг индукции: Допустим, что утверждение верно для n=k, то есть 111^k - 6 делится нацело на 5.

Теперь рассмотрим выражение 111^(k+1) - 6. Мы можем записать это выражение как 111^k * 111 - 6. Поскольку мы предполагаем, что 111^k - 6 делится нацело на 5, то мы можем записать 111^k - 6 в виде 5m для некоторого целого числа m.

Тогда мы можем записать 111^(k+1) - 6 как 111^k * 111 - 6 = (5m + 6) * 111 - 6 = 555m + 666 - 6 = 555m + 660. Заметим, что это выражение делится нацело на 5, потому что 660 делится нацело на 5.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для n=k, то оно верно и для n=k+1. Из шага базы следует, что утверждение верно для n=1. Поэтому, согласно принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных значений n.