Question

Докажите, что точки пересечения парабол y=x^2-5 и x=y^2-4 лежат на одной окружности

Answer 1

Доказательство:

Почленно сложим данные уравнения:

$x + y = y^2 - 4 + x^2 - 5$

И попробуем уложить все в сумму квадратов

$x^2 - x + y^2 - y - 9 = 0\\(x^2-x+\frac{1}{4}) + (y^2 - y + \frac{1}{4}) =9\frac{1}{2}\\(x-\frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = 9\frac{1}{2}$

И если некоторая точка A(x₀, y₀) действительно удовлетворяет этим уравнениям, то она также должна удовлетворять и уравнению, которое мы вывели. А это не что иное как уравнение окружности.

Answer 2

Для доказательства того, что точки пересечения парабол лежат на одной окружности, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем точки пересечения парабол, приравняв их уравнения:

   x^2 - 5 = y^2 - 4

   x^2 - y^2 = 1

   (x + y)(x - y) = 1

   x + y = 1/(x - y)

   Таким образом, мы получили выражение для x + y через x - y.

2. Выразим x и y через параметр t, чтобы получить параметрическое уравнение для точек пересечения парабол.

   Пусть x = t + 1/(2t), y = t - 1/(2t).

   Тогда x + y = 2t, а x - y = 1/t.

   Подставляя эти выражения в уравнение параболы y = x^2 - 5, получим:

   t^4 - 10t^2 + 1 = 0

   Таким образом, мы получили квадратное уравнение для параметра t.

3. Найдем координаты точек пересечения парабол, используя полученное параметрическое уравнение.

   Из уравнения x = t + 1/(2t) следует, что x принимает все значения на прямой y = -1/4, за исключением точки x = 2.

   Из уравнения y = t - 1/(2t) следует, что y принимает все значения на прямой x = 1/4, за исключением точки y = -2.

   Таким образом, точки пересечения парабол имеют координаты (-2, 1) и (2, -1/2).

4. Найдем центр и радиус описанной окружности, проходящей через эти точки.

   Пусть центр окружности имеет координаты (h, k), а радиус равен r.

   Тогда уравнение окружности имеет вид:

   (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

   Подставляя координаты точек пересечения парабол, получаем систему уравнений:

   (h + 2)^2 + (k - 1)^2 = r^2

   (h - 2)^2 + (k + 1/2)^2 = r^2

   Вычитая из первого уравнения второе, получаем:

   4h + 10k - 9/4 = 0

   Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:

   (h + 2)^2 + (k - 1)^2 = 25/4

   Таким образом