Question

Найти сумму всех целых значений n,при каждом из которых числа вида n^2+1/n+1 являются целыми

Answer 1

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 = (n^2+1) + 2n
Поэтому дробь  $\frac{n^2+1}{n+1}= \frac{(n+1)^2-2n}{n+1}=n+1- \frac{2n}{n+1}$
будет целым числом, только если 2n/(n+1) будет целым числом.
А это будет, только если n+1 равно -2, -1, 1, или 2.
1) n = -3; 2n/(n+1) = 2(-3)/(-2) = 3; (n^2+1)/(n+1) = (9+1)/(-3+1) = -5
2) n = -2; 2n/(n+1) = 2(-2)/(-1) = 4; (n^2+1)/(n+1) = (4+1)/(-2+1) = -5
3) n = 0; 2n/(n+1) = 0; (n^2+1)/(n+1) = (0+1)/(0+1) = 1
4) n = 1; 2n/(n+1) = 2*1/2 = 1; (n^2+1)/(n+1) = (1+1)/(1+1) = 1
Сумма всех значений n: 
S = -3 - 2 + 0 + 1 = -4

Answer 2

Рассмотрим выражение $n^2 + \frac{1}{n} + 1$. Если $n$ является целым числом, то $n^2$ - целое число, а значит, для того чтобы выражение было целым числом, необходимо, чтобы сумма $\frac{1}{n}+1$ была целым числом.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

$\frac{1}{n} + 1 = m,$

где $m$ - целое число.

Решая это уравнение, получаем:

$n = \frac{1}{m-1}.$

Таким образом, $m$ должно быть больше единицы, чтобы $n$ было целым числом. Кроме того, $m-1$ должно быть делителем единицы, то есть $m-1$ должно быть равно единице. Следовательно, $m=2$, и $n=1$.

Таким образом, единственное целое значение $n$, для которого выражение $n^2 + \frac{1}{n} + 1$ является целым числом, равно $1$. Следовательно, сумма всех целых значений $n$, удовлетворяющих условию, равна $1$.