Question

Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения n^3-31 кратно 6? Спасибо.

Answer 1

Утверждение неверное.

Например 2^3-31=-23

23 не кратно 6

Answer 2

Для доказательства того, что выражение n^3-31 кратно 6 при всех натуральных значениях n, необходимо показать, что оно делится на 6 без остатка для любого натурального n.

Заметим, что при делении любого числа на 6 возможны три варианта остатка: 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Рассмотрим каждый из них в отдельности.

1. Остаток от деления n на 6 равен 0. Тогда n можно представить в виде n = 6k для некоторого натурального k. Тогда: n^3-31 = (6k)^3 - 31 = 216k^3 - 31 = 6(36k^3 - 5). Мы видим, что выражение 36k^3-5 является целым числом, следовательно, n^3-31 делится на 6 при остатке 0.

2. Остаток от деления n на 6 равен 1. Тогда n можно представить в виде n = 6k + 1 для некоторого натурального k. Тогда: n^3-31 = (6k+1)^3 - 31 = 216k^3 + 108k^2 + 18k - 30 = 6(36k^3 + 18k^2 + 3k - 5). Мы видим, что выражение 36k^3+18k^2+3k-5 является целым числом, следовательно, n^3-31 делится на 6 при остатке 1.

3. Остаток от деления n на 6 равен 2. Тогда n можно представить в виде n = 6k + 2 для некоторого натурального k. Тогда: n^3-31 = (6k+2)^3 - 31 = 216k^3 + 144k^2 + 30k - 5 = 6(36k^3 + 24k^2 + 5k - 1). Мы видим, что выражение 36k^3+24k^2+5k-1 является целым числом, следовательно, n^3-31 делится на 6 при остатке 2.

4. Остаток от деления n на 6 равен 3. Тогда n можно представить в виде n = 6k + 3 для некоторого натурального k. Тогда: n^3-31 = (6k+3)^3 - 31 = 216k^3 + 243k^2 + 81k - 4 = 6(36k^3 + 40k^2 + 13k - 2). Мы видим, что выражение 36k^3+40k^2+13k-2 является целым числом, следовательно, n^3