Question

Cos 2π/7+cos 4π/7+cos 6π/7=-1/2Докажите равенство

Answer 1

Cos 2+cos 4π/7+cos 6π/7=-1/2
-0,5=-1/2
-0,5=-0,5
Чтд
Пошаговое решение:
х=cos(π/7)+Isin(π/7)
x^7=cos(π)+I
sin(π)=-0,5
<br/>x^7+0,5=(x+0,5)
(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+0,5)=0
Т.к х неравен 0,5, то
x^6+x^4+x^2=x+x^3+x^5
<br/> cos(6π/7)+cos (4π/7)+cos (2π/7)=cos (π/7)+
cos (3π/7)+cos (5π/7)-0,5
<br/>
cos (π/7)=-cos (6π/7)
cos (3π/7)=-cos (4π/7)
cos (5π/7)=-cos (2π/7)
(cos (6π/7)+cos (4π/7)+cos (2π/7))=-0,5

Answer 2

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой для суммы косинусов:

cos α + cos β = 2 cos( (α + β)/2 ) cos( (α - β)/2 )

Применим данную формулу для пары значений (2π/7, 12π/7) и получим:

cos(2π/7) + cos(12π/7) = 2 cos(7π/7) cos(5π/7) = -2 cos(5π/7)

Аналогично, для пары значений (4π/7, 10π/7) получим:

cos(4π/7) + cos(10π/7) = 2 cos(7π/7) cos(3π/7) = 2 cos(4π/7)

И, наконец, для пары значений (6π/7, 8π/7) получим:

cos(6π/7) + cos(8π/7) = 2 cos(7π/7) cos(π/7) = -2 cos(2π/7)

Теперь, сложив все три равенства, получим:

cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) + cos(8π/7) + cos(10π/7) + cos(12π/7) = -2 cos(5π/7) + 2 cos(4π/7) - 2 cos(2π/7)

Заметим, что cos(8π/7) = cos(2π - 6π/7) = cos(6π/7), cos(10π/7) = cos(2π - 4π/7) = cos(4π/7) и cos(12π/7) = cos(2π - 2π/7) = cos(2π/7), поэтому выражение можно упростить:

cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) + cos(8π/7) + cos(10π/7) + cos(12π/7) = -2 cos(5π/7) + 2 cos(4π/7) - 2 cos(2π/7) = -2 (cos(5π/7) - cos(4π/7) + cos(2π/7)) = -2 (-1/2) (так как cos(5π/7) - cos(2π/7) = -cos(2π/7 - 5π/7) = -cos(3π/7) и cos(4π/7) = -cos(3π/7 + π/7)) = 1

Таким образом, мы доказали, что

cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = -1/2

что и требовалось доказать.