Question

Решите уравнение в целых числах: 6x^2-3xy-7x+2y+15=0. Зарание спасибо

Answer 1

Так как y в выражении присутствует линейно, то выразим его:

$3xy-2y=6x^2-7x+15$

$y(3x-2)=6x^2-7x+15$

Сразу заметим, что если $3x-2=0, x=1.5$, то есть число не целое.

Тогда делим на (3x-2)≠0:

$y=\frac{6x^2-7x+15}{3x-2}$

Далее нужно сократить дробь, для этого делим столбиком

Получаем (2x-1) и остаток 13.

Так и запишем:

$y=2x-1+\frac{13}{3x-2}$

Теперь, чтобы y было целым числом, дробь $\frac{13}{3x-2}$ должна сократиться. Это произойдёт, если (3x-2) будет среди делителей числа 13. Так как это число простое, то это числа 1; 13. То есть само число и единица.

Проверяем каждый случай:

1) $3x-2=1, 3x=3, x=1; y=2*1-1+13=14$

2) $3x-2=13, 3x=15, x=5; y=2*5-1+1=10$

Ответ: (1; 14); (5; 10)

Answer 2

Дано уравнение:

6x^2 - 3xy - 7x + 2y + 15 = 0

Мы можем решить его, используя метод подстановки. Для этого мы представим y в виде функции от x и заменим его в уравнении.

Для начала рассмотрим уравнение вида:

y = mx + b

где m - это наклон прямой, а b - это точка пересечения с осью y.

Затем заменим y на mx + b в исходном уравнении:

6x^2 - 3x(mx + b) - 7x + 2(mx + b) + 15 = 0

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

6x^2 - 3mx^2 - 3bx - 7x + 2mx + 2b + 15 = 0

Упростим:

(6 - 3m)x^2 + (-3b + 2m - 7)x + (2b + 15) = 0

Для того, чтобы уравнение имело целочисленные решения, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть полным квадратом.

Дискриминант D:

D = (-3b + 2m - 7)^2 - 4(6 - 3m)(2b + 15)

Чтобы D был полным квадратом, нужно, чтобы его выражение было равно квадрату целого числа:

(-3b + 2m - 7)^2 - 4(6 - 3m)(2b + 15) = k^2

где k - это целое число.

Мы можем переписать это выражение в виде:

(-3b + 2m - 7 - 2k)(-3b + 2m - 7 + 2k) = 12m - 3b + 38

Мы должны найти целочисленные решения для m и b, удовлетворяющих этому условию.

Можно заметить, что правая часть выражения делится на 3.

12m - 3b + 38 = 3(4m - b + 12)

Значит, левая часть тоже должна делиться на 3.

(-3b + 2m - 7 - 2k)(-3b + 2m - 7 + 2k) = 3p^2

где p - это целое число.

Теперь мы можем рассмотреть все возможные пары целых чисел (m, b) и решить соответствующее квадратное уравнение для каждой пары, чтобы убедиться, что оно имеет целочисленные решения.

Когда мы проверяем все возможные пары, мы