Question

Решить уравнение cos8x=cos4x

Answer 1

Cos8x=cos4x
cos(2*4x)=cos4x
cos² 4x - sin² 4x - cos4x=0
cos² 4x - (1-cos² 4x) - cos4x=0
cos² 4x - 1 + cos² 4x - cos4x=0
2cos² 4x - cos4x - 1=0

y=cos4x

2y² - y - 1=0
D=1 +8=9
y₁=(1-3)/4= -2/4= -1/2
y₂=(1+3)/4=1

При у= -1/2
cos4x= -1/2
4x=(+/-) (2π/3)+2πk, k∈Z
x=(+/-) (π/6) + (π/2)k, k∈Z

При у=1
cos4x=1
4x=2πn, n∈Z
x=(π/2)n, n∈Z

Ответ: (+/-) (π/6)+(π/2)k, k∈Z;
             (π/2)n, n∈Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем использовать тригонометрические тождества.

cos(2a) = 2cos²(a) - 1 (тождество двойного угла) cos(a) = ±√[(1 + cos(2a))/2] (тождество половинного угла)

Применяя тождество двойного угла к левой и правой частям уравнения, получаем:

cos(8x) = cos(4x) = 2cos²(2x) - 1

Затем, используя тождество половинного угла, мы можем записать:

cos(2x) = ±√[(1 + cos(4x))/2] cos(4x) = ±√[(1 + cos(8x))/2]

Теперь мы можем заменить cos(4x) в первом уравнении на выражение из второго уравнения:

2cos²(2x) - 1 = ±√[(1 + cos(8x))/2]

Переносим всё в одну часть уравнения:

2cos²(2x) ± √[(1 + cos(8x))/2] - 1 = 0

Используя тождество половинного угла для cos(2x), получаем:

2(±√[(1 + cos(4x))/2])² ± √[(1 + cos(8x))/2] - 1 = 0

Упрощаем выражение:

2(1 + cos(4x)/2) ± √[(1 + cos(8x))/2] - 1 = 0

cos(4x) + ±√[(1 + cos(8x))/2] - 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение численно, используя методы численного анализа, такие как метод Ньютона-Рафсона или метод бисекции, чтобы найти значения x, удовлетворяющие уравнению. Однако, в общем случае решение этого уравнения является трудоемкой задачей, поэтому мы не можем предоставить аналитическое решение уравнения cos(8x) = cos(4x) в явном виде.