Question

При каких a уравнение 2lg(x+3)=lg(ax) имеет одно решение .

Answer 1

$2lg(x+3)=lg(ax) \\ \\ lg(x+3)^{2} =lg(ax) \\ \\ x^{2} +6x+9=ax \\ x^{2} +(6-a)x+9=0$

D=(6-a)²-4·9=36-12a+a²-36=a²-12a
Квадратное уравнение имеет одно решение, если дискриминант равен 0
a²-12a=0
a(a-12)=0
a=0    или  a=12
при a=0  правая часть уравнения не имеет смысла
Ответ При а=12

Answer 2

$2log(x+3)=log(ax) \\ x+3\ \textgreater \ 0 \Rightarrow x\ \textgreater \ -3 \\ ax\ \textgreater \ 0 \Rightarrow a \neq 0 \\ log(x+3)^2=log(ax) \Rightarrow (x+3)^2=ax \Rightarrow x^2+6x+9=ax \\ x^2+(6-a)x+9=0 \\ \Delta=(6-a)^2-4*9=0 \\ (6-a)^2=36 \Rightarrow (6-a-6)(6-a+6)=0 \Rightarrow -a(12-a)=0 \\ -a=0 \Rightarrow a=0 \not\in D_{y} \\ 12-a=0 \Rightarrow -a=-12 \Rightarrow a=12 \\ a=12$

Answer 3

Начнем с преобразования левой части уравнения:

2lg(x+3) = lg(ax)

Применим свойство логарифма: lg(a) + lg(b) = lg(ab)

lg((x+3)²) = lg(ax)

Применим обратную функцию логарифма: 10^lg(x) = x

(x+3)² = ax

x² + 6x + 9 = ax

x² + (9 - a)x + 9 = 0

Уравнение имеет одно решение, если дискриминант равен нулю:

(9 - a)² - 419 = 0

81 - 18a + a² - 36 = 0

a² - 18a + 45 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

D = (-18)² - 4145 = 144 - 180 = -36

Так как D < 0, уравнение имеет два комплексных корня и не имеет одного решения для любого значения a.

Значит, уравнение 2lg(x+3) = lg(ax) имеет одно решение только при определенных значениях a. Решим уравнение a² - 18a + 45 = 0 с помощью квадратного уравнения:

a₁ = (18 + √48)/2 = 9 + √3

a₂ = (18 - √48)/2 = 9 - √3

Таким образом, уравнение 2lg(x+3) = lg(ax) имеет одно решение только при a = 9 + √3 или a = 9 - √3.