Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном интервале: а)y=-x^2 - 6x + 1 на (-∞;-2] б)y=x^3 - 3x^2 - 9x + 1 на [1;+∞)

Answer 1

а)y=-x^2 - 6x + 1 на (-∞;-2]
y`=-2x-6
-2x-6=0
-2x=6
x=-3
y(-3)=-9+18+1=10 наиб
y(-2)=-4+12+1=9  наим

б)y=x^3 - 3x^2 - 9x + 1 на [1;+∞)
y`=3x²-6x-9
3(x²-2x-3)=0
x1+x2=2 U x1*x2=-3
x1=3 U x2=-1∉[1;∞)
у(1)=1-3-9+1=-10  наиб
у(3)=27-27-27+1=-26  наим

Answer 2

а) Для функции y=-x^2 - 6x + 1 на интервале (-∞;-2], найдем ее экстремумы:

y' = -2x - 6

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума:

-2x - 6 = 0 x = -3

Точка x = -3 является точкой максимума функции, так как до этой точки функция возрастает, а после нее убывает.

Теперь найдем значение функции в точке x = -2, которая является границей заданного интервала:

y(-2) = -(-2)^2 - 6(-2) + 1 = 5

Таким образом, на интервале (-∞;-2] наибольшее значение функции равно 5 (в точке x = -2), а наименьшее значение функции равно бесконечности (функция не ограничена снизу).

б) Для функции y=x^3 - 3x^2 - 9x + 1 на интервале [1;+∞), найдем ее экстремумы:

y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума:

x = -1, x = 3

Точка x = -1 является точкой минимума функции, так как до этой точки функция убывает, а после нее возрастает.

Теперь найдем значение функции в точке x = 1, которая является границей заданного интервала:

y(1) = 1^3 - 31^2 - 91 + 1 = -10

Таким образом, на интервале [1;+∞) наибольшее значение функции равно бесконечности (функция не ограничена сверху), а наименьшее значение функции равно -10 (в точке x = 1).