Question

Помогите доказать, срочно!!! 1!+2∙2!+⋯+n∙n!=(n+1)!-1, ∀ n ∈N

Answer 1

Для n=1 равенство верно (1*1!=(1+1)!-1). Докажем, что если равенство верно для какого то натурального n=k, то оно верно и для n=k+1.
Для k+1 равенство выглядит так:
1!+2*2!+...+k*k!+(k+1)(k+1)!=(k+2)!-1
1!+2*2!+...+k*k!=(k+1)!-1 по предположению, значит равенство можно записать так:
(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!=(k+2)!-1
(k+1)!(1+k+1)-1=(k+2)!-1
(k+1)!(k+2)-1=(k+2)!-1
(k+2)!-1=(k+2)!-1
Мы доказали, что если равенство верно для какого то натурального n, то оно верно и для следующего натурального числа. А в начале мы убедились, что равенство верно для n=1. Смекаешь к чему дело идет? Раз это равенство верно для единицы, то по доказаному оно верно и для двойки, а раз верно для двойки , то верно и для тройки, для тройки - для четверки и так до бесконечности. А значит равенство верно для любого натурального n, что и требовалось доказать. Этот метод доказательства называется математической индукцией.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Базовый шаг: При n=1 левая часть равна 1!⋅1=1, а правая часть равна 2!−1=1, следовательно, утверждение верно при n=1.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть 1!+2⋅2!+...+k⋅k!=(k+1)!-1.

Докажем, что утверждение верно и для числа k+1, то есть 1!+2⋅2!+...+(k+1)⋅(k+1)!=((k+1)+1)!-1=(k+2)!-1.

Рассмотрим левую часть для n=k+1: 1!+2⋅2!+...+(k+1)⋅(k+1!)=1!+2⋅2!+...+k⋅k!+(k+1)⋅(k+1)!=k!+(k+1)⋅k!+(k+1)⋅(k+1)!=k!(1+(k+1)+(k+1)⋅(k+1)).

Заметим, что (k+1)+(k+1)⋅(k+1)=(k+1)(k+2), поэтому k!(1+(k+1)+(k+1)⋅(k+1))=k!(k+2)!=(k+1)!⋅(k+2), что равно (k+2)!−(k+1)!.

Таким образом, получаем, что 1!+2⋅2!+...+(k+1)⋅(k+1)!=((k+2)!−(k+1)!)+(k+1)!=((k+2)!−1), что и требовалось доказать.

Таким образом, мы показали, что утверждение верно для любого натурального числа n, что завершает доказательство.