Question

20б Докажите, что выражение 2y(6x+1/4y)^2-x(8x+3y)^2 тождество равно кубу двучлена

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

2y*(6x+(1/4)*y)²-x*(8x+3y)²=2y*(36x²+3xy+y²/16)-x*(64x²+48xy+9y²)=

=72x²y+6xy²+y³/8-64x³-48x²y-9xy²=-64x³+24x²y-3xy²+y³/8=

=-(64x³-24x²y+3xy²-y³/8)=-((4x)³-3*16x²*(y/2)+3*4x*(y²/4)-(y/2)³)=

=-((4x)³-3*(4x)²*(y/2)+3*4x*(y/2)²-(y/2)³)=-(4x-(y/2))³=((y/2)-4x)³.

Answer 2

Для начала, раскроем квадрат в скобках (6x+1/4y)^2 и (8x+3y)^2:

(6x+1/4y)^2 = 36x^2 + 3xy + 1/16y^2

(8x+3y)^2 = 64x^2 + 48xy + 9y^2

Теперь подставим их в исходное выражение и сгруппируем слагаемые:

2y(6x+1/4y)^2 - x(8x+3y)^2 =

= 2y(36x^2 + 3xy + 1/16y^2) - x(64x^2 + 48xy + 9y^2)

= 72x^2y + 6xy^2 + 1/8y^3 - 64x^3 - 48x^2y - 9xy^2

= -64x^3 + 24x^2y - 3xy^2 + 1/8y^3

Заметим, что это выражение можно переписать в виде куба двучлена. Вспомним, что куб двучлена имеет вид (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Сравним это выражение с нашим:

-64x^3 + 24x^2y - 3xy^2 + 1/8y^3 =

= (-4x)^3 + 3*(-4x)^2*(1/2y) + 3*(-4x)*(1/2y)^2 + (1/2y)^3

= (-4x+1/2y)^3

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение 2y(6x+1/4y)^2-x(8x+3y)^2 равно кубу двучлена (-4x+1/2y)^3.