Question

При каких значениях параметра b пряма y = x+b является касательной к графику функции  f (x) = 2 ?

Answer 1

 Когда имеет единственное решение 
  $2\sqrt{x}=x+b\\\\ 4x=x^2+2xb+b^2\\\\ x^2+2xb-4x+b^2=0\\\\ x^2+x(2b-4)+b^2=0\\\\ D=(2b-4)^2-4b^2=0\\\\ (2b-4-2b)(2b-4+2b)=0\\\\ -4(4b-4)=0 \\\\ b=1$        
  

Answer 2

Для того чтобы прямая y = x + b была касательной к графику функции f(x) = 2, необходимо, чтобы она пересекала график f(x) только в одной точке и при этом график f(x) был касательной к прямой.

График функции f(x) = 2 представляет собой горизонтальную прямую на уровне y = 2, а прямая y = x + b имеет наклон, который можно изменять, меняя значение параметра b.

Для того чтобы найти значения параметра b, при которых прямая y = x + b является касательной к графику функции f(x) = 2, необходимо решить уравнение:

x + b = 2

Так как график функции f(x) = 2 является горизонтальной прямой, то оно имеет только одно решение для любого заданного x. Значит, прямая y = x + b будет касательной к графику функции f(x) = 2 только в том случае, если это уравнение имеет ровно одно решение.

Решая уравнение x + b = 2, получим:

x = 2 - b

Это уравнение имеет только одно решение, если коэффициент при x равен нулю:

1 = 0

Такое уравнение не имеет решений, следовательно, прямая y = x + b не может быть касательной к графику функции f(x) = 2 ни при каких значениях параметра b.