Question

Найти наибольшее значение выражения (5-3х)(5+3х)-5у(6х+5у)

Answer 1

Преобразуем выражение:
$(5-3x)(5+3x)-5y(6x+5y)=25-9x^2-30xy-25y^2=\\=25-((3x)^2+2*3x*5y+(5y)^2)=25-(3x+5y)^2$

Разность наибольшая, когда уменьшаемое наибольшее, а вычитаемое наименьшее. В нашем случае (3x+5y)² должно быть наименьшим.
т.к. выражение 3х+5у стоит в квадрате, то (3x+5y)²≥0. значит наименьшее значение которое оно может принимать это 0.
При х=0 и у=0 получаем ноль: 3*0+5*0=0

25-0= 25 - наибольшее значение выражения

Answer 2

Раскроем скобки, чтобы получить:

(5-3х)(5+3х)-5у(6х+5у) = 25 - 9х^2 - 30ух - 25у^2

Для нахождения наибольшего значения этого выражения необходимо найти экстремум функции. Для этого найдем ее частные производные:

d/dх (25 - 9х^2 - 30ух - 25у^2) = -18х - 30у d/dу (25 - 9х^2 - 30ух - 25у^2) = -30х - 50у

Приравняем их к нулю, чтобы найти точки экстремума:

-18х - 30у = 0 -30х - 50у = 0

Решая систему уравнений, получим:

х = -5/3, у = -1/2

Теперь необходимо проверить, является ли это точка максимумом или минимумом. Для этого найдем вторые частные производные:

d^2/dх^2 (25 - 9х^2 - 30ух - 25у^2) = -18 d^2/dхду (25 - 9х^2 - 30ух - 25у^2) = -30 d^2/dу^2 (25 - 9х^2 - 30ух - 25у^2) = -50

Вычислим определитель матрицы вторых частных производных:

(-18) * (-50) - (-30) * (-30) = 540 - 900 = -360

Так как определитель отрицательный, то точка (-5/3, -1/2) является седловой точкой.

Следовательно, наибольшего значения выражение не имеет в рассматриваемой области.