Question

прямая линия y = 7x + 9 является касательной к графику функций y = Найдите абсциссу точки касания.

Answer 1

Уравнение касательной:

y = f(x0) + f'(x0)*(x-x0)

В данном случае: y = 7x + 9

=> f'(x0) = 7

f'(x) = 3x^2 - 4x + 8

Найдем возможные x0 из уравнения f'(x) = 7;

3x² - 4x + 8 = 7

3x² - 4x + 1 = 0

D = 16 - 4*3 = 4

x₁ = (4+2)/2*3 = 6/6 = 1

x₂ = (4-2)/2*3 = 2/6 = 1/3

Найдем точки пересечения графика функции и касательной:

x³ - 2x² + 8x + 9 = 7x + 9

x³ - 2x² + x = 0

x(x² - 2x + 1) = 0

x(x - 1)² = 0

x = 0 или x = 1

=> x₂ = 1/3 не подходит.

Ответ: 1.

Answer 2

Чтобы прямая y = 7x + 9 была касательной к графику функции y = f(x) в точке (a, f(a)), необходимо, чтобы выполнялись два условия:

1. Функция f(x) должна быть дифференцируемой в точке a.

2. Производная f'(a) должна быть равна наклону касательной, то есть 7.

Поскольку мы не знаем, какая функция задана в задаче, мы не можем найти абсциссу точки касания напрямую. Однако мы можем использовать информацию о наклоне касательной, чтобы найти абсциссу точки, в которой это возможно.

Если производная функции f(x) в точке a равна 7, то уравнение касательной в этой точке будет иметь вид y = 7x + b, где b - неизвестная константа.

Поскольку мы знаем, что прямая y = 7x + 9 является касательной, мы можем сопоставить коэффициенты при x и свободный член уравнения касательной и прямой:

7x + b = 7x + 9

Отсюда следует, что b = 9.

Таким образом, уравнение касательной имеет вид y = 7x + 9. Чтобы найти абсциссу точки касания, необходимо решить уравнение системы уравнений:

y = f(x)

y = 7x + 9

Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

f(x) = 7x + 9

Нам нужно найти значение x, при котором это уравнение имеет решение и при этом выполняется условие, что прямая y = 7x + 9 является касательной. Это означает, что производная функции f(x) в точке x должна быть равна 7.

Дифференцируя уравнение f(x) = 7x + 9, получаем:

f'(x) = 7

Таким образом, мы можем заключить, что функция f(x) = 7x + 9 имеет производную f'(x) = 7 в любой точке x. Следовательно, любая точка на этой прямой является точкой касания.

Абсцисса точки касания будет определяться по формуле:

x = (y - 9) / 7

Подставляя y = 0 (так как точка касания должна лежать на оси x), получаем:

x = (0 - 9) / 7 = -9/7

Ответ: аб