Question

Знайти точку максимуму функції f(x) =x^2-1/4*x^4

Answer 1

F(x) =x^2-1/4*x^4
f'(x) = 2x-x^3
2x-x^3=0
x(2-x^2)=0
x=0
2-x^2=0
x^2=2
x= к2
x=-к2
f(0) =0^2-1/4*0^4 = 0
f(к2) =к2^2-1/4*к2^4 = 2-1/4*4 = 2-1 = 1
f(-к2) = 1
макс - (-к2;1) и (к2;1) 
мин - (0;0)

Answer 2

Для знаходження точки максимуму функції потрібно знайти її похідну і прирівняти до нуля, а потім знайти значення аргумента, для якого похідна дорівнює нулю.

Похідна функції f(x) =x^2-1/4*x^4 дорівнює:

f'(x) = 2x - x^3

Прирівнюючи f'(x) до нуля, отримуємо:

2x - x^3 = 0

x(2 - x^2) = 0

Отже, x може дорівнювати 0 або ±√2. Щоб визначити, яке з цих значень є максимумом, треба взяти другу похідну:

f''(x) = 2 - 3x^2

Для x = 0 маємо f''(0) = 2, що є додатнім числом, тому це значення x є точкою мінімуму.

Для x = ±√2 маємо f''(±√2) = -2, що є від'ємним числом, тому ці значення x є точками максимуму.

Отже, точки максимуму функції f(x) = x^2 - 1/4*x^4 є x = ±√2, а максимальне значення функції дорівнює:

f(±√2) = 2