Question

Как решить уравнение x в четвертой -4x в третьей +5x во второй -2x =0. Нужно подробное решение

Answer 1

$x^4-4x^3+5x^2-2x=0\\ x(x^3-4x^2+5x-2)=0$

Пораскладываем на множители:

$x^3-4x^2+5x-2=(x^3-1)-(4x^2-4x)+(x-1)=\\=(x-1)(x^2+x+1)-4x(x-1)+(x-1)=\\=(x-1)(x^2+x+1-4x+1)=(x-1)(x^2-3x+2)=\\=(x-1)^2(x-2)$

И в итоге

$x(x-1)^2(x-2)=0$

Корни 0, 1, 2.

Answer 2

Данное уравнение является полиномом четвертой степени, поэтому мы можем решить его с помощью факторизации.

1. Вынесем общий множитель x:

   x(-4x^3 + 5x^2 - 2x + 0) = 0

2. Заметим, что первый множитель равен нулю, если x = 0.

3. Рассмотрим второй множитель (-4x^3 + 5x^2 - 2x + 0). Для нахождения его корней воспользуемся формулой Кардано (также известной как метод Кубических уравнений).

   Пусть z = x^2. Тогда уравнение принимает вид:

   -4z^{\frac{3}{2}} + 5z - 2\sqrt{z} = 0

4. Решим это уравнение следующим образом:

   -4z^{\frac{3}{2}} + 5z - 2\sqrt{z} = 0

   2\sqrt{z}(2z - \sqrt{z}) + 5z = 0

   (2\sqrt{z} + 5)(2z - \sqrt{z}) = 0

   2\sqrt{z} + 5 = 0 или 2z - \sqrt{z} = 0

   2\sqrt{z} = -5 или z = \frac{1}{2}

   Но з = x^2, поэтому:

   x^2 = \frac{1}{2}

   x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

5. Итак, мы нашли три корня уравнения: x = 0, x = \frac{\sqrt{2}}{2} и x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Таким образом, решение уравнения:

x(x - \frac{\sqrt{2}}{2})(x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0

или, эквивалентно:

x(x^2 - \frac{1}{2}) = 0.