Question

Упростите выражение: 2x/x^2-4 — 2/x^2-4 : (x+1/2x-2—1/x-1) и найдите его значение при x=1/2

Answer 1

$\frac{2x}{x {}^{2} - 4 } - \frac{2}{x {}^{2} - 4} \div ( \frac{x + 1}{2x - 2} - \frac{1}{x - 1} ) = \frac{2x - 2}{x {}^{2} - 4} \div \frac{x - 1}{2x - 2} = \frac{2x - 2}{(x - 2)(x + 2)} \times \frac{2x - 2}{x - 1} = \frac{4x - 4}{x {}^{2} - 4} \\ x = \frac{1}{2} \\ \frac{4 \times 0.5 - 4}{0.25 - 4} = \frac{ - 2}{3.75} = - \frac{8}{15}$

Answer 2

Для упрощения выражения сначала найдём общий знаменатель у дробей в знаменателе:

(x + 1)/(2x - 2) - 1/(x - 1) = [(x + 1)(x - 1) - 2(2x - 2)] / [(2x - 2)(x - 1)]

= (x^2 - x - 4) / [(2(x - 1))(x - 1)]

Теперь можем вернуться к упрощению основного выражения:

2x/(x^2 - 4) - 2/(x^2 - 4) : [(x + 1)/(2x - 2) - 1/(x - 1)]

= 2x/(x+2)(x-2) - 2/(x+2)(x-2) : (x^2 - x - 4) / [2(x-1)(x-1)]

= [2x - 2(x-1)] / [(x+2)(x-2)] : (x^2 - x - 4) / [2(x-1)(x-1)]

= 2 / [(x+2)(x-2)] : (x^2 - x - 4) / [2(x-1)(x-1)]

= 2(x-1)^2 / [(x+2)(x-2)(x^2 - x - 4)]

Теперь можем вычислить значение выражения при x=1/2:

2((1/2)-1)^2 / [(1/2+2)(1/2-2)((1/2)^2 - (1/2) - 4)]

= -1/70

Таким образом, упрощенное выражение равно (2(x-1)^2) / [(x+2)(x-2)(x^2 - x - 4)], а его значение при x=1/2 равно -1/70.