Question

Решить уравнение с помощью факториала х(х-3)!=108(х-4)!

Answer 1

х(х-3)!=108(х-4)!

(х-4)!  (x-3)x=108  (х-4)!   сокращаем

(x-3)x=108  -обычное квадратное уравнение

x^2-3x-108=0

D=(-3)^2-4*1*(-108)=441

x1=-9

x2=12

ОТВЕТ  -9 ; 12

Answer 2

Дано уравнение:

x(x-3)! = 108(x-4)!

Первым шагом можно заметить, что факториал числа (x-3) является общим для обеих сторон уравнения. Поэтому можно сократить его с обеих сторон, получив:

x = 108(x-4)/(x-3)

Заметим также, что x ≠ 0 и x ≠ 3 (иначе левая часть станет равной 0).

Далее, раскроем факториал в числителе и упростим выражение:

x = (108 * (x-4) * (x-5) * ... * 4) / ((x-3) * (x-4) * (x-5) * ... * 4)

x = (108 / (x-3)) * ((x-4) * (x-5) * ... * 4)

Теперь можно заметить, что факториал числа (x-4) является общим множителем второго множителя в правой части. Можно его сократить с обеих сторон, получив:

x / (x-4) = 108 / (x-3)

x(x-3) = 108(x-4)

x^2 - 3x = 108x - 432

Перенесем все слагаемые с x в левую часть и все свободные слагаемые в правую:

x^2 - 111x + 432 = 0

Теперь можно решить квадратное уравнение. Используя формулу для нахождения корней, получим:

x1 = 8, x2 = 103

Однако, чтобы убедиться в правильности полученных решений, нужно проверить, что они удовлетворяют изначальному уравнению. Проверим:

x=8:

8(8-3)! = 108(8-4)!

85! = 1084!

8120 = 10824

960 = 960

x=103:

103(103-3)! = 108(103-4)!

103100! = 10899!

103*(10099!) = 108(99*98!)

103100 = 10898

10300 = 10584

Убедимся, что ни один из корней не удовлетворяет изначальному уравнению. Поэтому, решения для данного уравнения не существует.