Question

Y=cosx-2sinx-1 найдите наибольшее и наименьшее значение функции

Answer 1

1) Найдем производную функции:

$y' = -sin(x) - 2\cdot cos(x)$

2) Найдем стационарные точки:

$></p> <p>ТУТ должна быть система с квадратными скобками([ - или)... Просто такой на сайте нет =(</p> <p><img src=$

3)Не известно на каком промежутке искать корни, следовательно выберем 

Найдем все y:

$y(0) = 0\\ y(x_{1}) = cos(- arctg(2) + 2\pi k) - 2sin(- arctg(2) + 2\pi k) - 1\\ y(x_{2}) = cos(\pi + arctg(2) + 2\pi n) - 2sin(\pi + arctg(2) + 2\pi n) - 1$

Т.к. $y(x_{1}) < y(x_{2}) => y(x_{2}) MAX;$

Ответ: Максимальное значение функции: $y(x_{2})$ . Найти его можно будет, если будет известно на каком интервале искать... Минимально надо сравнивать по промежутку с y(0) вдруг y(x1)< y(0)

Answer 2

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(x)-2sin(x)-1, необходимо выразить ее в виде суммы или разности двух функций, каждая из которых имеет известные максимальное и минимальное значения.

Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса разности углов:

cos(x)-2sin(x)-1 = sqrt(5)*[1/sqrt(5)*cos(x) - 2/sqrt(5)*sin(x)] - 1

Здесь мы вынесли за скобки множитель sqrt(5), чтобы получить коэффициенты перед функциями cos(x) и sin(x), которые будут по модулю не больше единицы.

Далее, введем новые функции u(x) и v(x), такие что:

u(x) = 1/sqrt(5)*cos(x) - 2/sqrt(5)*sin(x) v(x) = -1

Тогда наша исходная функция Y(x) может быть записана в виде:

Y(x) = sqrt(5)*u(x) + v(x)

Функция v(x) имеет постоянное значение -1 и не влияет на экстремумы функции Y(x). Остается найти максимальное и минимальное значение функции u(x).

Для этого можно воспользоваться свойствами функций cos(x) и sin(x), а именно:

-1 <= cos(x) <= 1 -1 <= sin(x) <= 1

Тогда:

-3/sqrt(5) <= 1/sqrt(5)*cos(x) - 2/sqrt(5)*sin(x) <= 1/sqrt(5) + 2/sqrt(5) = 3/sqrt(5)

Минимальное значение функции u(x) достигается при x = arctan(2), тогда:

u(x) = 1/sqrt(5)*cos(x) - 2/sqrt(5)*sin(x) = -sqrt(5)/5

Максимальное значение функции u(x) достигается при x = arctan(1/2), тогда:

u(x) = 1/sqrt(5)*cos(x) - 2/sqrt(5)*sin(x) = sqrt(5)/5

Итак, мы нашли минимальное и максимальное значение функции u(x), а значит и минимальное и максимальное значение функции Y(x):

Минимальное значение: Y(min) = sqrt(5)*u(min) + v(x) = -sqrt(5) - 1 Максимальное значение: Y(max) = sqrt(5)*u(max) + v(x) = sqrt(5) - 1

Таким образом, наименьшее значение функции Y(x) равно -sqrt(5) - 1, а наибольшее значение функции Y(x) равно sqrt(5) - 1.