Question

(х+у)^2+4у^2+4у+3>0 докажите неравенство пожалуйста срочно

Answer 1

(х+у)^2+4у^2+4у+3=(х+у)^2+4у^2+4у+1+2=(х+у)^2+(2y+1)^2+2>0

Answer 2

Для доказательства данного неравенства мы можем воспользоваться свойствами квадратичных выражений и положительности квадратов.

Выражение (х+у)^2 можно раскрыть по формуле квадрата суммы двух слагаемых:

(х+у)^2 = х^2 + 2ху + у^2

Таким образом, исходное выражение можно переписать в следующем виде:

х^2 + 2ху + у^2 + 4у^2 + 4у + 3 > 0

Объединяя слагаемые, получаем:

х^2 + 2ху + 5у^2 + 4у + 3 > 0

Заметим, что это квадратичное выражение относительно переменной х. Для того чтобы доказать, что оно всегда положительно, нам нужно убедиться в том, что его дискриминант D меньше или равен нулю:

D = (2у)^2 - 45(4у+3) = -80у^2 - 48у - 24

Поскольку коэффициент при старшей степени у отрицательный, то данное квадратичное уравнение всегда имеет отрицательный дискриминант. Следовательно, выражение х^2 + 2ху + 5у^2 + 4у + 3 всегда положительно, и неравенство (х+у)^2+4у^2+4у+3>0 верно для любых действительных чисел х и у.