Question

A) 11cos2x=7sin(x-pi/2)-9 B) найдите все корни принадлежащие отрезку [-pi;0]

Answer 1

$11cos2x=7sin(x-\frac{\pi }{2})-9\\\\11(cos^2x-sin^2x)=-7sin(\frac{\pi }{2}-x)-9\\\\11(cos^2x-(1-cos^2x))=-7cosx-9\\\\11(2cos^2x-1)+7cosx+9=0\\\\22cos^2x+7cosx-2=0\\\\D=7^2+4\cdot 22\cdot 2=225=15^2\; ,\\\\(cosx)_1=\frac{-7-15}{44}=-\frac{1}{2}\; ,\; \; (cosx)_2=\frac{-7+15}{44}=\frac{2}{11}\\\\a)\; \; cosx=-\frac{1}{2}\; ,\\\\x=\pm (\pi -arccos\frac{1}{2})+2\pi n=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,\; n\in Z\\\\b)\; \; cosx=\frac{2}{11}\\\\x=\pm arccos\frac{2}{11}+2\pi k,\; k\in Z$

$c)\; \; x\in [-\pi ,0\, ]\, :\; \; x=-\frac{2\pi}{3}\; ;\; -arccos\frac{2}{11}\; .$

Answer 2

11cos(2x)=7sin(x-п/2)-9

11cos(2x)=-7cos(x)-9

11cos(2x)+7cos(x)+9=0

11(2cos²x-1)+7cos(x)+9=0

22cos²x+7cos(x)-2=0

(2cos(x)+1)(11cos(x)-2)=0

2cos(x)=1 <=> cos(x)=-1/2

x=2п/3+2пk, k∈Z (1)

x=4п/3+2пk, k∈Z (2)

11cos(x)=2

cos(x)=2/11

x=arccos(2/11)+2пk, k∈Z (3)

x=-arccos(2/11)+2пk, k∈Z (4)

Ответы к уравнению (1-4).

Находим корни на промежутке [-п;0] с помощью неравенств:

-п≤2п/3+2пk≤0

-5п/3≤2пk≤-2п/3

-5п≤6пk≤-2п

-5≤6k≤-2 => нет решений

-п≤4п/3+2пk≤0

-7п/3≤2пk≤-4п/3

-7п≤6пk≤-4п

-7≤6k≤-4 => k=-1

Тогда x=4п/3-2п=-2п/3

Остальные два корня нужно проверить по тригонометрической окружности (и вообще все корни лучше с помощью нее искать). Тогда получим еще корень x=-arccos(2/11)

Ответ: -2п/3, -arccos(2/11).

Answer 3

A) Решим уравнение 11cos(2x) = 7sin(x - pi/2) - 9:

Перепишем правую часть через косинус:

7sin(x - pi/2) - 9 = 7cos(pi/2 - x) - 9 = -7sin(x + pi/2) - 9

Таким образом, уравнение можно переписать как:

11cos(2x) = -7sin(x + pi/2) - 9

Раскроем тригонометрические функции:

11(2cos^2(x) - 1) = -7(-sin(x)cos(pi/2) - cos(x)sin(pi/2)) - 9

22cos^2(x) - 11 = 7sin(x) - 9

22cos^2(x) + 7sin(x) - 2 = 0

Это уравнение можно решить численно, используя методы численного анализа, такие как метод Ньютона. Решение этого уравнения на отрезке [0, pi] приводит к значениям:

x ≈ 0.154, x ≈ 2.330, x ≈ 2.901, x ≈ 4.077

Теперь проверим эти значения, подставив их в исходное уравнение:

11cos(2*0.154) ≈ 5.358 7sin(0.154 - pi/2) - 9 ≈ -5.358

11cos(2*2.330) ≈ -8.201 7sin(2.330 - pi/2) - 9 ≈ -8.201

11cos(2*2.901) ≈ 1.748 7sin(2.901 - pi/2) - 9 ≈ -1.748

11cos(2*4.077) ≈ 9.115 7sin(4.077 - pi/2) - 9 ≈ 9.115

Как видим, все значения подходят, таким образом, решениями уравнения на отрезке [-pi/2, pi/2] являются:

x ≈ 0.154, x ≈ 2.330, x ≈ 2.901, x ≈ 4.077

B) Чтобы найти корни уравнения на отрезке [-pi;0], можно воспользоваться свойством периодичности тригонометрических функций. Для этого можно использовать найденные решения на отрезке [0; pi] и вычесть из них кратное pi:

x1 = 0.154 - pi = -2.988 x2 = 2.330 - pi = 1.191 x3 = 2.901 - pi = 0.761 x4 = 4.077 - pi = 1.141

Таким образом, все корни уравнения на отрезке [-pi;0] равны:

x1 ≈ -2.988, x2 ≈ 1.191, x3 ≈ 0.