Question

Решите неравенство: 9^x⩽1/81

Answer 1

9^x⩽1/81

9^x⩽1/9^2

9^x⩽9^-2

так как основание больше 1 то знак оставляем

x ⩽ -2

Ответ x∈(-∞   -2]

Answer 2

Перепишем неравенство в эквивалентном виде, используя степень как функцию:

9^x ⩽ (1/9)^2

Теперь можно заметить, что правая часть неравенства представляет собой квадрат числа 1/9. Следовательно, можно переписать неравенство как:

9^x ⩽ (1/9)^2 = 1/81

Теперь возведем обе части неравенства в -1:

(1/9)^x ⩾ 1/9^2

Так как 1/9 > 0, то можно умножить обе части на 9^2:

(1/9)^x * 9^2 ⩾ 1

Упрощаем:

1/9^(x-2) ⩾ 1

Переносим 1 влево:

1 - 1/9^(x-2) ⩾ 0

Переписываем в виде общего неравенства с учетом того, что 9^(x-2) = (9^1)^(x-2) = 9^(x-2):

9^(x-2) - 1 ⩾ 0

Теперь решаем неравенство методом интервалов знакопостоянства. Для этого находим корни уравнения 9^(x-2) - 1 = 0:

9^(x-2) - 1 = 0

9^(x-2) = 1

x - 2 = 0

x = 2

Таким образом, неравенство 9^x ⩽ 1/81 выполняется тогда и только тогда, когда x ⩾ 2. Ответ: x ⩾ 2.