Question

Доказать, что 2^(3n)-1 делится на 7

Answer 1

/////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства того, что выражение 2^(3n) - 1 делится на 7, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай При n = 1, мы имеем 2^(3*1) - 1 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7. Очевидно, что 7 делится на 7.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого k выражение 2^(3k) - 1 делится на 7. То есть, существует некоторое целое число m, такое что 2^(3k) - 1 = 7m.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что если предположение индукции выполняется для k, то оно выполняется и для k+1.

Рассмотрим выражение 2^(3(k+1)) - 1 = 2^(3k+3) - 1. Мы можем переписать это выражение в виде (2^(3k) * 2^3) - 1. Так как 2^3 = 8, мы можем заменить это значение в выражении и получить: 2^(3k) * 8 - 1 = (2^(3k) - 1) * 8 + (8 - 1).

Из предположения индукции мы знаем, что 2^(3k) - 1 делится на 7. Пусть это значение равно 7m (где m - целое число): (7m) * 8 + (8 - 1) = 56m + 7 = 7(8m + 1).

Мы видим, что полученное выражение кратно 7, так как оно представляет собой произведение 7 на целое число (8m + 1). Это доказывает, что если предположение индукции выполняется для k, то оно выполняется и для k+1.

Таким образом, согласно принципу математической индукции, для любого натурального числа n выражение 2^(3n) - 1 делится на 7.