Question

Решите уравнение: 3sin^2x+sinxcosx=2cos^2x

Answer 1

$3\sin^2x+\sin x\cos x=2\cos^2x\\ \\ 3\sin^2x+\sin x\cos x-2\cos^2x=0$

Это однородное уравнение, разделим обе части уравнения на cos²x≠0

$\displaystyle \frac{3\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin x\cos x}{\cos^2 x}-\frac{2\cos^2x}{\cos^2x}=0\\ \\ \frac{3\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin x}{\cos x}-2=0$

Известно, что отношение sinx/cosx равно tgx, получим

$\tt 3tg^2x+tgx-2=0$

Пусть $\tt tgx=t$, получим квадратное уравнение относительно t

$3t^2+t-2=0$

$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-2)=1+24=25\\ \\ t_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-1+5}{2\cdot3}=\dfrac{4}{2\cdot3}=\dfrac{2}{3};\\ \\ t_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-1-5}{2\cdot3}=-\dfrac{6}{2\cdot3}=-1$

Возвращаемся к обратной замене

$tgx=\dfrac{2}{3}~~~~\Rightarrow~~~~ \boxed{x=\tt{arctg}\dfrac{2}{3}+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$\tt tgx=-1~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать данное уравнение и получить выражение в одной тригонометрической функции.

Используя тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, мы можем заменить $\cos^2x$ на $1 - \sin^2x$:

$3\sin^2x+\sin x\cos x=2(1-\sin^2x)$

Упрощая, получим:

$3\sin^2x+\sin x\cos x=2-2\sin^2x$

$5\sin^2x+\sin x\cos x-2=0$

Теперь мы можем решить это уравнение, используя обычное квадратное уравнение с $\sin x$ в качестве переменной.

Решая уравнение, получаем:

$\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{10}$

Таким образом, решением уравнения являются:

$x = \arcsin\left(\frac{-1 + \sqrt{21}}{10}\right) + 2k\pi, \quad x = \arcsin\left(\frac{-1 - \sqrt{21}}{10}\right) + 2k\pi$

где $k$ - любое целое число.