Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+5, y=1

Answer 1

y=-x²+5      y=1      S=?

-x²+5=1       x²=4          x₁=-2         x₂=2

S=₋₂²(-x²+5-1)dx=₋₂²(4-x²)dx=(4x-x³/3) ₋₂|²=4*2-2³/3-(4*(-2)-(-2)³/3)=

=8-8/3-(-8+8/3)=8-8/3+8-8/3=16-16/3=16-5¹/₃=10²/₃.

Ответ: S≈10,6667 кв. ед.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения. В данном случае у нас есть две функции: y = -x^2 + 5 и y = 1.

Сначала найдем точки пересечения этих двух функций. Подставим y = 1 в первое уравнение:

1 = -x^2 + 5

Теперь решим это уравнение относительно x:

-x^2 + 5 = 1 -x^2 = -4 x^2 = 4 x = ±2

Таким образом, точки пересечения находятся при x = 2 и x = -2.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, интегрируя разность между ними вдоль оси x от x = -2 до x = 2.

Площадь (S) равна:

S = ∫[x=-2 to x=2] (y1 - y2) dx

где y1 = -x^2 + 5 и y2 = 1.

S = ∫[x=-2 to x=2] ((-x^2 + 5) - 1) dx S = ∫[x=-2 to x=2] (-x^2 + 4) dx

Чтобы вычислить этот интеграл, разобьем его на две части:

S = ∫[x=-2 to x=2] (-x^2) dx + ∫[x=-2 to x=2] (4) dx

Интегрируя каждую часть по отдельности:

S = [- (1/3) * x^3] + [4 * x] | [x=-2 to x=2] S = [-(1/3) * (2^3) + 4 * 2] - [-(1/3) * ((-2)^3) + 4 * (-2)] S = [-(8/3) + 8] - [-(8/3) - 8] S = (24/3) - (-24/3) S = 8 + 8 S = 16

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 5 и y = 1, составляет 16 квадратных единиц.