Question

Решите неравенство log6(21-7x) больше или равно log6(x^2-8x+15) + log6(x+3)

Answer 1

Решение во вложении:

Answer 2

ОДЗ :

1) 21 - 7x > 0

- 7x > - 21

x < 3

2) x² - 8x + 15 > 0

(x - 5)(x - 3) > 0

          +                        -                     +

____________₀__________₀___________

                         3                     5

////////////////////////                      ////////////////////////

x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (5 ; + ∞)

3) x + 3 > 0

x > - 3

Окончательно : x ∈ (- 3 ; 3)

$log_{6}(21-7x)\geqlog_{6}(x^{2}-8x+15)+log_{6}(x+3)\\\\log_{6}(21-7x)\geq log_{6}((x^{2} -8x+15)(x+3))\\\\21-7x\geq (x^{2} -8x+15)(x+3)\\\\21-7x-x^{3}-3x^{2}+8x^{2}+24x-15x-45\geq0\\\\-x^{3} +5x^{2}+2x-24\geq0\\\\x^{3}-5x^{2}-2x+24\leq0\\\\(x^{3}-4x^{2})-(x^{2}+2x-24)\leq0\\\\x^{2}(x-4)-(x-4)(x+6)\leq0\\\\(x-4)(x^{2} -x-6)\leq 0\\\\(x-4)(x-3)(x+2)\leq0$

           -                          +                       -                         +                  

___________[-2]__________[3]_________[4]________

////////////////////////                        ////////////////////////

Ответ с учётом ОДЗ : x ∈ (- 3 ; - 2]

                     

Answer 3

Начнем с объединения двух логарифмов справа:

log6(21-7x) ≥ log6((x-5)(x-3)(x+3))

Заметим, что x ≠ 3, 5, -3, так как знаменатель должен быть положительным.

Теперь применим свойство логарифма, согласно которому loga(b) ≥ loga(c) эквивалентно b ≥ c.

Используя это свойство, мы можем записать:

21 - 7x ≥ (x - 5)(x - 3)(x + 3)

Раскроем скобки справа:

21 - 7x ≥ x^3 - 5x^2 - 3x^2 + 15x + 5x - 25

Упростим выражение:

x^3 - 5x^2 + 15x - 46 ≥ 0

Решим это неравенство, используя метод интервалов знакопостоянства:

x^3 - 5x^2 + 15x - 46 > 0

(x - 2)(x^2 - 3x + 23) > 0

Решение x^2 - 3x + 23 = 0 не имеет вещественных корней, так что неравенство будет выполняться в любой точке, кроме x = 2.

Теперь проверим два интервала: x < 2 и x > 2.

При x < 2 выражение (x - 2)(x^2 - 3x + 23) < 0, так что неравенство не выполняется.

При x > 2 выражение (x - 2)(x^2 - 3x + 23) > 0, так что неравенство выполняется.

Таким образом, решение неравенства log6(21-7x) ≥ log6(x^2-8x+15) + log6(x+3) является множеством всех x > 2, кроме x = 3, 5, -3.