Question

Найдите наибольшее значение функции y = 16tgx−16x+4π−5 на отрезке [−π/4;π/4]

Answer 1

Y=16tgx-16x+4π-5   i=[-π/4;π/4]
y'=16/cos²x-16  y'=0  1/cos²x=1
cosx=1  cosx=-1   x=πk   k∈Z
k=0 x=0 y=4π-5   

x=-π/4  y=-16+4π+4π-5=8π-21
x=π/4   y=16-4π+4π-5=11
8π-21-11=8π-32  8π-21<11
4π-5-8π+21=-4π+16>0

min 8π-21

Answer 2

Для нахождения максимального значения функции на отрезке необходимо вычислить значение функции в каждой из его границ и в стационарных точках внутри отрезка (то есть тех точках, где производная функции равна нулю или не существует) и выбрать наибольшее из полученных значений.

Вычислим значение функции в границах отрезка:

y(-π/4) = 16tg(-π/4) - 16(-π/4) + 4π - 5 ≈ 26.21

y(π/4) = 16tg(π/4) - 16(π/4) + 4π - 5 ≈ 23.85

Так как функция тангенс является нечетной, то можно заметить, что функция y(x) будет четной. Поэтому значение функции в точке x = 0 равно нулю, так как tg(0) = 0.

Найдем теперь стационарные точки функции на отрезке [-π/4; π/4]:

y'(x) = 16(sec^2(x) - 16)

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, соответствуют значениям x:

x = arccos(4/√17) ≈ 0.927, x = -arccos(4/√17) ≈ -0.927

Таким образом, необходимо вычислить значение функции в точках x = -π/4, x = 0, x = π/4, x ≈ -0.927 и x ≈ 0.927 и выбрать наибольшее из полученных значений.

y(-π/4) ≈ 26.21 y(0) = 0 y(π/4) ≈ 23.85 y(-0.927) ≈ 26.54 y(0.927) ≈ 26.54

Наибольшее значение функции на отрезке [-π/4; π/4] равно примерно 26.54.