Question

Доведіть що 4^20+4^19+4^18 ділиться на 21

Answer 1

4^20+4^19+4^18 =4^18(4^2+4+1)=4^18(16+4+1)=4^18*21. Очевидно, что данное число делиться на 21.

Answer 2

Щоб довести, що вираз 4^20 + 4^19 + 4^18 ділиться на 21, ми можемо розкласти 21 на прості множники і перевірити, чи ділиться вираз на кожен з цих множників.

21 можна розкласти на прості множники як 3 * 7. Тому ми повинні перевірити, чи ділиться вираз на 3 і на 7.

Для перевірки ділення на 3, ми можемо скористатися тим, що кожна ступінь 4 ділиться на 4. Тому ми можемо спрощувати вираз:

4^20 + 4^19 + 4^18 = 4^18 * (4^2 + 4 + 1)

Тепер ми можемо помітити, що вираз у дужках є сумою геометричної прогресії з першим членом 4^2 і з різницею 4:

4^2 + 4^1 + 4^0 = 21

Отже, ми можемо записати:

4^20 + 4^19 + 4^18 = 4^18 * (4^2 + 4 + 1) = 4^18 * 21

Оскільки 21 ділиться на 3, а 4^18 ділиться на 3 (бо 4^18 містить множник 4^2, який ділиться на 3), то добуток 4^18 * 21 ділиться на 3.

Для перевірки ділення на 7 ми можемо скористатися малим теоремою Ферма, яка говорить, що якщо p - просте і a - ціле число, яке не ділиться на p, то:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

Тобто, якщо ми піднесемо число a до (p-1) ступеня і візьмемо остачу від ділення на p, то отримаємо 1. У нашому випадку, p=7, тому ми можемо записати:

4^6 ≡ 1 (mod 7)

Тепер ми можемо розкласти 20, 19 і 18 на множники, що діляться на 6:

20 = 3 * 6 + 2 19 = 3 * 6 + 1 18 = 3 * 6 + 0

Тому ми можемо записати:

4^20 + 4^19 + 4^18 = 4^(3*6+2) +