Question

Спростити вираз a³+b³+3(a³b+ab³)+6(a³b²+a²b³), де a і b - корені рівняння x²-x+q=0

Answer 1

task/26153274
-------------------------
Упростите выражение   a³+b³+3(a³b+ab³)+6(a³b²+a²b³), где a и  b - корни уравнения  x² - x + q = 0 .
--------
  a³+b³+3(a³b+ab³)+6(a³b²+a²b³) =( a+b)³- 3ab(a+b) +3ab(a²+b²)+6a²b² (a+b) =
(a+b)³- 3ab(a+b) +3ab ( (a+b)² -2ab ) +6(ab)² (a+b)=
* * *  по теореме Виета   a+b =1 ; ab =q  | * * *
=1³ -3q*1 +3q(1² -2q)+6q²*1    =1 -3q +3q -6q² +6q²   =1.

Answer 2

Почнемо зі знаходження значень a і b за допомогою формул Вієта для квадратного рівняння:

Сума коренів: a + b = 1 Добуток коренів: ab = q

Звідси маємо:

a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²) = 1(a²-q+b²) = 1-3q (використовуючи ідентичність a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²))

Також, ми можемо знайти значення (a³b+ab³):

(a³b+ab³) = ab(a²+b²) = q(a²+b²) = q(1-2ab)

Далі, ми можемо знайти значення (a³b²+a²b³):

(a³b²+a²b³) = ab³(a+b) + a³b(b+a) = ab(a²b+ab²) + a²b(a+b) = ab(a³+b³) + a²b(1-ab) = q(1-3q) + (1-q)q = q - 3q² + q - q³ = 2q - 4q² - q³

Тепер, ми можемо підставити знайдені значення до виразу a³+b³+3(a³b+ab³)+6(a³b²+a²b³):

a³+b³+3(a³b+ab³)+6(a³b²+a²b³) = (1-3q) + 3q(1-2ab) + 6(2q-4q²-q³) = 1-3q + 3q - 6q² + 12q³ - 18q⁴ - 6q³ = 1 - 3q - 6q² + 9q³ - 18q⁴

Отже, спрощений вираз: 1 - 3q - 6q² + 9q³ - 18q⁴.