Question

Постройте график функции y=x+3|x|-x^2

Answer 1

Если х≥0, то |x|=x  тогда  у=х+3х-х²  или  у=4х-х²
если x <0, то |x|=-x  тогда  у=х-3х-х²  или  у=-2х-х²

На левой части координатной плоскости (х<0)
строим параболу у=-х²-2х

Выделим полный квадрат
-х²-2х=-(х²+2х+1)+1=-(х+1)²+1

Вершина в точке
(-1;1)
ветви направлены вниз


На правой части координатной плоскости строим параболу у=-х²-4х

Выделим полный квадрат
-х²-4х=-(х²+4х+4)+4=-(х+2)²+4
вершина в точке
(-2;4), но вершина не принадлежит правой полуплоскости.
ветви параболы направлены вниз

Answer 2

Для построения графика данной функции нам необходимо определить ее поведение на разных участках. Для этого выделим три интервала:

1. $x \leqslant 0$
2. $0 \leqslant x \leqslant 3$
3. $x \geqslant 3$

На каждом из этих интервалов будем исследовать знак выражения $x+3|x|-x^2$ и, следовательно, поведение функции на этом интервале.

1. $x \leqslant 0$: в этом случае $|x| = -x$, поэтому функция принимает вид $y = x - 3x - x^2 = -x^2 - 2x$. Выражение $-x^2$ является отрицательным, поэтому на этом интервале функция убывает.

2. $0 \leqslant x \leqslant 3$: в этом случае $|x| = x$, поэтому функция принимает вид $y = x + 3x - x^2 = 4x - x^2$. Выражение $4x$ является возрастающей функцией, а $-x^2$ — убывающей, поэтому на этом интервале функция возрастает.

3. $x \geqslant 3$: в этом случае $|x| = x$, поэтому функция принимает вид $y = x + 3x - x^2 = 4x - x^2$. Выражение $4x$ является возрастающей функцией, а $-x^2$ — убывающей, поэтому на этом интервале функция убывает.

Таким образом, мы выяснили, что на интервале $x \in [0, 3]$ функция возрастает, а на интервалах $x \in (-\infty, 0]$ и $x \in [3, \infty)$ функция убывает.

Чтобы построить график, нарисуем оси координат и разместим на них метки для всех значений $x$ на интервале $[-5, 5]$. Затем проведем график функции на каждом из трех интервалов, используя выявленные ранее свойства функции.

На графике видно, что функция имеет вершину в точке $(2,4)$ и пересекает ось $y$ в точке $(0,0)$.