Question

Чисельник звичайного дробу більший від знаменника на 5.Якщо до чисельника дробу додати 3,а від знаменника відняти 1,то одержимо дріб,який на 6,5 більший від даного.Знайдіть даний дріб.Поможіть будь ласка

Answer 1

Нехай знаменник дробу = х, то чисельник = (х+5). Дріб має вигляд ( $\frac{x}{x+5}$ )
Якщо додати 3 до знаменника і відняти 1 від чисельника, отримаємо дріб 
( $\frac{x+8}{x-1}$), який більший за даний на 6,5. Маємо рівняння:
$\frac{x+8}{x-1}$ - $\frac{x}{x+5}$ = 6,5;     
Далі йде довгувате рівняння, з якого х=2,
шуканий дріб:
$\frac{7}{2}$

Answer 2

Позначимо чисельник звичайного дробу як $x$, а знаменник як $y$. За умовою задачі, маємо наступну систему рівнянь:

$\begin{cases} x = y + 5 \\ \dfrac{x+3}{y-1} = \dfrac{x}{y} + 6.5 \end{cases}$

Розв'яжемо її.

Підставляємо перше рівняння у друге:

$\dfrac{(y+5)+3}{y-1} = \dfrac{y+5}{y} + 6.5.$

Спрощуємо:

$\dfrac{y+8}{y-1} = \dfrac{y}{y} + \dfrac{5}{2}.$

Зводимо до спільного знаменника:

$\dfrac{y+8}{y-1} = \dfrac{2y}{2y} + \dfrac{5(y-1)}{2y(y-1)}.$

Спрощуємо:

$\dfrac{y+8}{y-1} = 1 + \dfrac{5}{2y}.$

Переносимо $1$ на ліву сторону:

$\dfrac{y+8}{y-1} - 1 = \dfrac{5}{2y}.$

Скорочуємо дроби:

$\dfrac{7}{y-1} = \dfrac{5}{2y}.$

Перемножуємо з обох боків на $2y(y-1)$:

$14y = 5(y-1)(y-1).$

Розкриваємо дужки:

$14y = 5(y^2 - 2y + 1).$

Розв'язуємо квадратне рівняння:

$5y^2 - 24y + 5 = 0.$

Застосуємо формулу коренів квадратного рівняння:

$y = \dfrac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4\cdot5\cdot5}}{2\cdot5} = \dfrac{24 \pm 22}{10}.$

Отримуємо два корені: $y_1 = \frac{46}{10} = \frac{23}{5}$ та $y_2 = \frac{4}{5}.$

Перевіримо, який з них підходить. З першого рівняння отримуємо, що $x_1 = y_1 + 5 = \frac{23}{5} + 5 = \frac{48}{5}$, а з другого:

$$$$